ریاضیات

مراحل الگوریتم:

1. ورودی: میدان پایه‌ی F و عنصر جبری α در یک توسیع دلخواه E.

2. تشکیل هسته ایده‌آل پوچ‌ساز: گردآوری تمامی چندجمله‌ای‌هایی از F[x] که α ریشه‌ی آن‌هاست:

   Ann(α) = { f(x) ∈ F[x]  |  f(α) = 0 }

3. انتخاب مولد تک‌عضوی (خاصیت PID): نظر به اینکه F[x] یک حوزه‌ی ایده‌آل اصلی است، ایده‌آل Ann(α) توسط یک چندجمله‌ای منفرد مانند p(x) تولید می‌شود:

   Ann(α) = ⟨p(x)⟩

4. تکین‌سازی و بررسی تحویل‌ناپذیری:

   • تقسیم ضرایب بر ضریب پیشرو تا چندجمله‌ای تکین (Monic) حاصل شود.
   • تضمین تحویل‌ناپذیری در F[x]، زیرا هرگونه تجزیه منجر به نقض کمینه بودن درجه می‌گردد.

5. خروجی: چندجمله‌ای کمینه p(x) با درجه‌ی n که تعیین‌کننده‌ی بعد جبری توسیع است:

   [F(α) : F] = deg(p(x)) = n

مراحل الگوریتم:

1. اعمال هم‌ریختی ارزیابی (φ_α): تعریف نگاشت نگاشت از حلقه چندجمله‌ای‌ها به توسیع:

   φ_α : F[x] → F(α)   ,   φ_α(f(x)) = f(α)

2. انطباق قضیه اول هم‌ریختی: با توجه به Ker(φ_α) = ⟨p(x)⟩، یک‌ریختی زیر مستقر می‌گردد:

   F[x] / ⟨p(x)⟩ ≅ F(α)

3. تقلیل درجات (پیمانه‌گیری): برای هر عضو دلخواه f(x)، با تقسیم بر p(x) باقی‌مانده r(x) با deg(r) < n به دست می‌آید.

4. استخراج پایه‌ی استاندارد برداری: هر عنصر میدان F(α) به صورت ترکیب خطی یکتا از دسته‌ی پایه بازنمایی می‌شود:

   B = { 1, α, α², ..., α^n-1 }

نتیجه‌گیری ساختاری:

با طی این دو الگوریتم، فضای نامتناهی F[x] به مدد ایده‌آل ماکسیمال ⟨p(x)⟩ مقید گشته و توسیع ساده F(α) در هیئت یک فضای برداری با بعد متناهی n بر روی میدان پایه F تحقق می‌یابد.