ریاضیات

تحلیل ساختاری گروه متقارن S4 و اثبات حل‌پذیری آن

گروه متقارن S4، گروهی متشکل از تمامی جای‌گشت‌های (permutations) یک مجموعه ۴ عضوی است. مرتبه‌ی این گروه برابر با 4! یعنی 24 می‌باشد. در نظریه گروه‌ها، یکی از مباحث مهم، تعیین «حل‌پذیری» (Solvability) یک گروه است که ارتباط مستقیمی با زنجیره زیرگروه‌های نرمال آن دارد.

۱. زنجیره زیرگروه‌های نرمال

یک گروه حل‌پذیر است اگر زنجیره‌ای از زیرگروه‌های نرمال داشته باشد که فاکتورهای (گروه‌های خارج‌قسمتی) آن، گروه‌های دوری (Cyclic) باشند. برای گروه S4، زنجیره زیرگروه‌های نرمال به صورت زیر است:

در اینجا:

• A4 (گروه متناوب): زیرگروه جای‌گشت‌های زوج با مرتبه 12.
• V (چهارگروه کلاین): زیرگروه با مرتبه 4، شامل عضو همانی و سه ترانهش دوتایی مجزا.
• K: زیرگروه دوری مرتبه 2، شامل عضو همانی و یک ترانهش دوتایی.
• {e}: زیرگروه بدیهی.

۲. تحلیل گروه‌های خارج‌قسمتی (فاکتورها)

برای بررسی حل‌پذیری، باید گروه‌های خارج‌قسمتی در هر مرحله از این زنجیره را محاسبه کنیم:

• - S4 / A4: مرتبه 24/12 = 2. این گروه ایزومورف با Z2 است.
• - A4 / V: مرتبه 12/4 = 3. این گروه ایزومورف با Z3 است.
• - V / K: مرتبه 4/2 = 2. این گروه ایزومورف با Z2 است.
• - K / {e}: مرتبه 2/1 = 2. این گروه ایزومورف با Z2 است.

۳. نتیجه‌گیری

از آنجایی که تمام گروه‌های خارج‌قسمتیِ حاصل از این زنجیره (Z2 و Z3)، گروه‌های آبلی (دوری) هستند، طبق تعریف، گروه S4 یک گروه حل‌پذیر است.

این ویژگیِ حل‌پذیری S4، مبنای اصلیِ امکانِ حلِ معادلات جبری درجه چهار به کمک رادیکال‌ها در میدان‌های اعداد است.