ریاضیات

به نام آفریدگارِ نظم و عدد؛ هر عمارتی را پی و بنیادی است و هر میدانی را سرچشمه‌ای ازلی. در جهانِ جبر مجرد، وقتی به ژرفای یک میدان می‌نگریم، با دو حقیقت بنیادین روبرو می‌شویم: یا پژواکِ جمعِ مکررِ عنصرِ همانی سرانجام به «صفر» منتهی می‌شود و ساختار را مقید به «مشخصه‌ای اول» می‌سازد، یا تا بی‌نهایت امتداد یافته و «مشخصه‌ی صفر» را رقم می‌زند. در این درس‌نامه، برهانِ این اصلِ استوار و تولدِ زیرمیدان اول را به تماشا می‌نشینیم.

صورت قضیه: اگر F یک میدان متناهی باشد، آن‌گاه مشخصه‌ی آن ناصفر بوده و همواره یک عدد اول است: Char(F) = p ≠ 0.

برهان ریاضی (به روایت دست‌نوشته):

فرض کنیم 1 عنصر همانی ضربی در میدان F باشد. مجموعه‌ی مضاربِ متوالی این عنصر را در نظر می‌گیریم:

از آن‌جا که میدان F متناهی است، زیرمجموعه‌ی T نیز بناچار باید متناهی باشد. پس طبق اصل لانه‌کبوتری، عناصر T نمی‌توانند همگی متمایز باشند و حتماً تکرار رخ می‌دهد:

با قرار دادن k = m - n، عدد صحیح مثبتی یافت می‌شود که k·1 = 0. کوچک‌ترین عدد صحیح مثبت با این خاصیت را مشخصه‌ی میدان نامند که به سادگی ثابت می‌شود ناگزیر باید عددی اول (p) باشد؛ زیرا اگر مرکب می‌بود، میدان بودن F (عدم وجود مقسوم‌علیه صفر) نقض می‌شد.

اگر تمام زیرمیدان‌های یک میدان F را در نظر بگیریم، اشتراکِ تمامی آن‌ها که کوچک‌ترین زیرمیدانِ ممکن است، زیرمیدان اول (E) نامیده می‌شود:

این هسته‌ی مرکزی، بر حسب مشخصه‌ی میدان، تنها می‌تواند یکی از دو جلوه را به خود بگیرد:

• 
  حالت اول (مشخصه اول p): اگر Char(F) = p باشد، زیرمیدان اول E هم‌ریخت (ایزومورف) با میدان همنهشتی Z_p است.
  
  نگاشت تک‌ریختی به صورت φ: Z_p → F با ضابطه‌ی φ(n) = n·1_F تعریف می‌شود که یک هم‌ریختی یک‌به‌یک است.
  


• 
  حالت دوم (مشخصه صفر): اگر Char(F) = 0 باشد، میدان F شامل زیرمیدانی هم‌ریخت با میدان اعداد گویا (Q) خواهد بود.