کالبدشکافیِ حل‌پذیری: از زنجیره‌های فرعی تا قضیه‌ی آبل-روفینی
تحلیل ساختاری گروه دی‌هدرال D4 در برابر گروه متناوب A5
به نام داننده‌یِ رازهایِ مکتوم؛ در تحلیلِ گذشته، هشت اقلیمِ میدان‌ها را بر پهنه‌یِ جبر ترسیم کردیم. اکنون زمان آن است که بر کرسیِ داوری بنشینیم و بپرسیم: معیارِ ریاضیاتی و دقیقِ حل‌پذیری یک چندجمله‌ای به وسیله‌ی رادیکال‌ها چیست؟ پاسخ در تلاقیِ دو مفهوم بنیادین نهفته است: «بسط رادیکالی میدان‌ها» در زبانِ میدان، و «حل‌پذیری گروه گالوا» در زبانِ گروه‌ها.
۱. تعریف دقیق گروهِ حل‌پذیر (Solvable Group)
گروه متناهی G را حل‌پذیر گویند اگر و تنها اگر دارای یک زنجیره‌ی فرعی (Subnormal Series) از زیرگروه‌ها باشد:
{e} = G0 &lhd; G1 &lhd; G2 &lhd; ... &lhd; Gk = G
به گونه‌ای که برای هر i از صفر تا k-1، دو شرط زیر برقرار باشد:
- زیرگروه Gi در Gi+1 زیرگروه نرمال باشد (Gi &lhd; Gi+1).
- گروهِ خارج‌قسمتِ متناظر، یک گروه آبلی (جابجایی‌پذیر) یا دوری از مرتبه‌ی اول باشد: Gi+1 / Gi ≅ Cp.
۲. کالبدشکافی زنجیره‌ی گروه گالوایِ چندجمله‌ای x4 - 2
برای چندجمله‌ای x4 - 2 دیدیم که گروه گالوا هم‌ریخت با گروه تقارن‌های مربع D4 با مرتبه‌ی ۸ است. زنجیره‌ی فرعی این گروه به صورت زیر فرو می‌شکند:
{1} &lhd; ⟨σ2⟩ &lhd; ⟨σ⟩ &lhd; D4
بررسیِ مرحله‌به‌مرحله‌ی خارج‌قسمت‌ها و مراتب آنها:
| گام | عامل خارج‌قسمت | مرتبه‌ی خارج‌قسمت | عملیات رادیکالی متناظر در میدان |
|---|---|---|---|
| گام اول | D4 / ⟨σ⟩ ≅ C2 | ۲ (اول) | الحاق ریشه‌ی دوم یک: Q(i) بر Q |
| گام دوم | ⟨σ⟩ / ⟨σ2⟩ ≅ C2 | ۲ (اول) | الحاق ریشه‌ی دوم دو: Q(i, √2) |
| گام سوم | ⟨σ2⟩ / {1} ≅ C2 | ۲ (اول) | الحاق ریشه‌ی چهارم دو: Q(i, α) |
چون تمام خارج‌قسمت‌ها دورانی از مرتبه‌ی ۲ و در نتیجه آبلی هستند، گروه D4 حل‌پذیر بوده و معادله با ۳ بار پیاپی جذر گرفتن (عمل رادیکالی درجه ۲) به طور کامل حل می‌شود.
۳. دیوار صلبِ درجه‌ی پنج: معمای سادگی A5
چندجمله‌ای عمومی درجه ۵ دارای گروه گالوای متقارن S5 با مرتبه‌ی 5! = 120 است. زنجیره‌ی زیرگروه‌های نرمال این گروه به شکل زیر است:
{1} &lhd; A5 &lhd; S5
بررسیِ مانعِ حل‌ناپذیری:
- خارج‌قسمت نخست: S5 / A5 ≅ C2 که آبلی و خوش‌رفتار است.
- مانعِ اصلی: گروه جایگشت‌های زوج A5 با مرتبه‌ی ۶۰، یک گروه ساده (Simple Group) است؛ یعنی هیچ زیرگروه نرمال محض به جز خودش و گروه یک‌عضوی ندارد.
- در نتیجه، زنجیره در زیرگروه A5 قفل می‌شود و خارج‌قسمت بعدی برابر با خودِ A5 / {1} ≅ A5 خواهد بود که به وضوح غیرآبلی است (چون جابجایی جایگشت‌ها برقرار نیست).
جمع‌بندیِ نهایی (قضیه‌ی بنیادین آبل — روفینی — گالوا):
قاعده: یک معادله‌ی چندجمله‌ای با رادیکال‌ها حل‌پذیر است اگر و تنها اگر گروه گالوای آن حل‌پذیر باشد.
نتیجه: از آن‌جا که گروه متقارن Sn به ازای n ≥ 5 حل‌پذیر نیست، هیچ رابطه‌ی جبریِ کلی بر پایه‌ی چهار عمل اصلی و رادیکال‌ها برای حل معادلات درجه ۵ و بالاتر در حالت عمومی وجود ندارد.
برگرفته از مباحث حل‌پذیری گروه‌ها در نظریه گالوا — جزوه دکتر محمدی حسن‌آبادی
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.