فهرستِ اقالیم هشت‌گانه: جمع‌بندیِ نهایی میدان‌های ثابت
برگرفته از دست‌نوشته‌های نظریه گالوا — تدوین و تنظیم درس‌نامه
به نام دانایِ نهان و آشکار؛ پس از طیِ منازل هشت‌گانه‌یِ دستگاه‌های خطی و محک زدنِ شرطِ بقا تحت نگاشت‌های تقارنیِ σ (چرخش) و τ (انعکاس)، اکنون نوبت آن است که حاصل این مکاشفه را در یک نگاه به تماشا بنشینیم. در این یادداشت، سیمایِ روشنِ تمامِ میدان‌های ثابت KH به همراه مولدها و پایه‌های برداری‌شان بر صفحه‌ی وبلاگ نقش می‌بندد.
صورتِ عمومی عناصر و پایه‌ی فضا
چنان‌که در یادداشت‌های استاد تصریح شده است، هر عنصر در میدان‌های چهاربُعدی (متناظر با زیرگروه‌های مرتبه ۲) به صورت ترکیبی خطی از ۴ عضوِ پایه جلوه‌گر می‌شود؛ به عنوان نمونه برای میدانِ متناظر با زیرگروه C داریم:
KC = { a0 + a1α2 + a2(iα) + a3(iα3) | ai ∈ Q }
که پایه‌ی آن بر میدان گویا عبارت است از: { 1, α2, iα, iα3 } و درجه‌ی بسط برابر با ۴ می‌باشد: [KC : Q] = 4.
کارنامه‌یِ تفصیلی میدان‌های ثابت (Fixed Fields)
الف) افق‌های درجه دو (میدان‌های حاصل از زیرگروه‌های مرتبه ۴):
- KS = Q(i) ← میدان موهومی محض؛ متناظر با زیرگروه دَوَرانی S = ⟨σ⟩
- KT = Q(√2) ← میدان ریشه‌ی دوم؛ متناظر با زیرگروه بازتابی T = {1, σ2, τ, σ2τ}
- KU = Q(i√2) ← میدان رادیکال مرکب؛ متناظر با زیرگروه قطری U = {1, σ2, στ, σ3τ}
ب) افق‌های درجه چهار (میدان‌های حاصل از زیرگروه‌های مرتبه ۲):
- KA = Q(i, √2) ← تنها میدانِ نرمال در این رده؛ متناظر با A = ⟨σ2⟩
- KB = Q(α) = Q(21/4) ← میدان رادیکال خالصِ چهارم؛ متناظر با B = ⟨τ⟩
- KC = Q(iα) ← میدان رادیکال موهومی؛ متناظر با C = ⟨σ2τ⟩
- KD = Q((1 + i)α) ← میدانِ ترکیب قطری اول؛ متناظر با D = ⟨στ⟩
- KE = Q((1 - i)α) ← میدانِ ترکیب قطری دوم؛ متناظر با E = ⟨σ3τ⟩
حُسنِ مقال: با ثبت این هشت اقلیم، دفترِ بررسی بسطِ x4 - 2 کامل گردید. این دستگاهِ منظم، گواهی است بر این‌که جبر مجرد، چیزی جز کشفِ نظم‌های ناپیدا و هماهنگی‌های ازلی در بطن اعداد نیست. در فراز بعد، از این سکو پرواز خواهیم کرد به سوی کشفِ مفهوم «حل‌پذیری به رادیکال‌ها».
منبع: یادداشت‌های درس نظریه گالوا — دست‌نویس دکتر محمدی حسن‌آبادی
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.