ریاضیات

گام نخست: شکار دوری به طول p (به مدد قضیه‌ی کوشی)

چون چندجمله‌ای تحویل‌ناپذیر است، اگر α یکی از ریشه‌ها باشد، درجه‌ی بسطِ [Q(α) : Q] برابر با p خواهد بود. بنابر برج‌بندی میدان‌ها:

[K : Q] = [K : Q(α)] ⋅ [Q(α) : Q]

پس p مرتبه‌ی گروه گالوا یعنی |G(K, Q)| را عاد می‌کند (p | |G(K, Q)|). به حکم قضیه‌ی کوشی در نظریه‌ی گروه‌ها، عنصری چون σ در گروه گالوا وجود دارد که مرتبه‌اش برابر p است؛ یعنی یک دورِ p-تایی از ریشه‌ها:

σ = (α₁ α₂ ... α_p)

گام دوم: رقصِ مزدوج مختلط و زایش یک «جابجایی»

حال به خودریختیِ تزویج مختلط (τ) بنگرید. از آنجا که دقیقاً دو ریشه‌ی غیرحقیقی (مزدوج یکدیگر) داریم و مابقی p - 2 ریشه همگی بر خطِ حقیقت (محور اعداد حقیقی) استوارند، نگاشت τ همه‌ی ریشه‌های حقیقی را در جای خود تثبیت می‌کند و تنها آن دو ریشه‌ی موهومی را با یکدیگر جابجا می‌سازد.

از این رو، خودریختیِ τ در نقشِ یک جابجایی (Transposition) دو عنصری چون (α_i α_j) در گروه جایگشت‌ها ظاهر می‌شود.

سرانجام: فتحِ قلمروِ S_p

در جبر مجرد قاعده‌ای استوار و زرین حکمفرماست:

«اگر در گروه متقارن S_p (که p عددی اول است)، یک دور به طول p و یک جابجایی دو عنصری هم‌نشین شوند، این دو عنصر توانِ آن را دارند که به تنهایی تمامِ گروه S_p را تولید کنند.»

G(K, Q) ≅ S_p