پایانِ سفر: کلیدِ گشایشِ معادلات
ای همراهِ طریقِ عقل! در انتهایِ تحلیلِ رزولوانت‌ها، به نکته‌ای دست یافتیم که همچون نوری در تاریکی، مسیرِ حلِ معادلات را روشن می‌سازد. دیدیم که چگونه خودریختیِ σ، رزولوانتِ di را در یک «توانِ معکوس از ریشه‌یِ واحد» ضرب می‌کند:
σ(di) = ξi-1 ⋅ di
چرا این مهم است؟ این رابطه به ما می‌گوید که dip تحتِ اثرِ تمامِ اعضایِ گروهِ گالوا ثابت می‌ماند (σ(dip) = (ξi-1 di)p = (ξi-p) dip = dip).
در دنیایِ گالوا، آنچه ثابت بماند، در میدانِ پایه (F) قرار دارد. پس، رزولوانتِ به توانِ p رسیده، عنصری از میدانِ اصلی است! و این یعنی:
حقیقتِ جبری: برایِ رسیدن به ریشه‌هایِ معادله، کافی است از میدانِ پایه، ریشه‌یِ p-اُمِ آن رزولوانت را استخراج کنیم. این همان «بسطِ رادیکالی» است که قرن‌ها ریاضیدانان در پیِ آن بودند.
استاد دکتر محمدی حسن‌آبادی با این استدلال، به ما می‌آموزند که پیچیدگیِ معادلات، توهمی بیش نیست؛ وقتی «رزولوانت» را بشناسیم، هر معادله‌ای چون دژِ تسخیرشده، به دستِ رادیکال‌ها فتح می‌شود.
«هر جا تقارن دوری باشد، رادیکال‌ها در کمین‌اند تا گره از کارِ بسته بگشایند.»
برگرفته از خاتمه‌یِ بحثِ بسط‌هایِ دوری - درس‌نامه‌یِ گالوا
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.