جلوه‌یِ نهایی: رزولوانت و ریشه‌گیری
ای دوست! در صفحاتِ پیشین دیدیم که چگونه با استفاده از رزولوانت‌هایِ لاگرانژ، پیچیدگیِ تقارن‌ها را به چرخشی ساده در ریشه‌هایِ واحد بدل کردیم. اکنون در پایانِ این بحث، استاد دکتر محمدی حسن‌آبادی، نقاب از چهره‌یِ مقصود برمی‌دارند.
از چرخشِ فاز تا ریشه‌یِ مطلق
اگر به خاطر داشته باشید، به این تساویِ درخشان رسیدیم:
σ(di) = ξi-1 di
این رابطه به ما می‌گوید که با اعمالِ یک خودریختی (عضوِ گروهِ گالوا)، رزولوانتِ ما فقط در یک «فاز» (ضریبِ ریشه‌ی واحد) تغییر می‌کند. اما نکته‌یِ طلایی در کجاست؟
توان‌رسانی و پیدایشِ عنصرِ ثابت
استاد نشان می‌دهند که اگر این رزولوانت را به توانِ p برسانیم (dip)، آنگاه:
σ(dip) = (σ(di))p = (ξi-1 di)p = (ξi-p) dip
از آنجا که ξip = 1 (چون ریشه‌یِ p-اُمِ واحد است)، پس σ(dip) = dip.
به زبانِ ساده: این مقدارِ dip نسبت به تمامِ خودریختی‌هایِ گروهِ گالوا «ثابت» (Invariant) می‌ماند.
نتیجه‌گیریِ درخشان
در نظریه‌یِ گالوا، هر عنصری که تحتِ اثرِ تمامِ خودریختی‌ها ثابت بماند، در میدانِ پایه (میدانِ F) قرار دارد. بنابراین، dip عضوی از F است.
«این یعنی ریشه‌یِ رزولوانت، در واقع ریشه‌یِ یک معادله‌یِ ساده‌یافتنی است!»
دقیقاً به همین دلیل است که هر بسطِ دوریِ مرتبه اول، به صورتِ الحاقِ ریشه‌یِ یک عنصرِ میدانِ پایه (رادیکال) قابلِ نمایش است.
و این‌گونه است که جبر، پرده از اسرارِ حلِ معادلات برمی‌دارد.
برگرفته از دست‌نوشته‌هایِ استاد دکتر محمدی حسن‌آبادی
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.