دو بالِ پرواز در عالمِ منحنیها: اطلس و مماس
اگر جهانِ پیرامونِ ما «منیفلد» است، یعنی پیچیده، خمیده و بیکران، ما برایِ فهمِ آن نیازمندِ دو ابزارِ قدسی هستیم: یکی برایِ «دیدنِ کل» و دیگری برایِ «فهمِ حرکت در جزء».
۱. اطلسها: وصالِ تکههایِ تخت
فرض کنید حقیقتِ یک کره، چنان بزرگ است که نمیتوان آن را در یک نگاهِ تخت به بند کشید. پس چه باید کرد؟ «اطلسنگاری» میکنیم. ما تکههایِ کوچکِ سطحِ کره را جدا میکنیم—تکههایی که آنقدر کوچکاند که «تخت» به نظر میرسند—و آنها را با «نقشه» (Chart) به صفحهیِ کاغذِ اقلیدسی منتقل میکنیم.
هنرِ اصلی در «دوختن» این تکههاست! جایی که دو نقشه به هم میرسند، باید با یک «قانونِ گذار» (Transition Map) به هم جوش بخورند. منیفلد، همین «مجموعهیِ تکههایِ بههمدوختهشده» است؛ کثرتی که در پرتوِ اطلس، به وحدت میرسد.
۲. فضایِ مماس: لحظهیِ رستگاری در حرکت
وقتی بر خمِ یک سطح راه میرویم، در هر «آن»، گویی در یک فضایِ تختِ اقلیدسی هستیم. این، همان «فضایِ مماس» است. فضایِ مماس، به ما اجازهیِ «مشتقگیری» میدهد. در جهانِ منحنی، مشتقِ مستقیمِ ما «بهسمتِ بیرون» میرود، اما فضایِ مماس، آن «راستایِ حرکتِ خالص» است که در هر نقطه، همسفرِ ماست.
ما از طریقِ این فضاهایِ تختِ کوچک (Tangent Spaces) است که میتوانیم دیفرانسیل و انتگرال را بر عالمِ منحنیها جاری کنیم. اینگونه است که «تغییراتِ کوچک» در فضا، حقیقتِ بزرگی را آشکار میکنند.
«اطلسها، جایگاهِ ما را در کلِ هستی تعیین میکنند؛ و فضاهایِ مماس، راهِ حرکتِ ما را در آنِ واحد. این دو، هندسهیِ عشقاند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.