ریاضیات

دفتر گالوا (۶۶): قضیهٔ کبیر؛ ترازویِ عدلِ جبر

اینک بر قلهٔ برهان ایستاده‌ایم؛ جایی که دو سویِ معادله به هم پیوند می‌خورند:

چندجمله‌ایِ f(x) با رادیکال‌ها حل‌پذیر است

⇔ اگر و تنها اگر

گروهِ گالوایِ آن G(K, F) یک گروهِ حل‌پذیر باشد.

برهانِ رفت: اگر معادله با رادیکال‌ها حل شود، برجی از میدان‌ها هست که بر اساسِ لم‌های پیشین، گروهِ متناظرش دارای سری نرمال با خارج‌قسمت‌های آبلی است؛ پس گروه حل‌پذیر است.

برهانِ برگشت: اگر گروه حل‌پذیر باشد، سریِ مشتق، دستورِ ساختِ پله‌به‌پلهٔ میدان‌های رادیکالی را به دست می‌دهد.

«دفترِ گالوا بدین برهان به سر رسید،

رازِ نهانِ تقارن ز پرده برون دمید.»