ریاضیات

دفتر گالوا (۶۱): طلسمِ درجاتِ بالا؛ چراییِ ناممکنیِ حلِ عام

چرا فرمولِ کلی برای معادلاتِ درجه ۵ و بالاتر وجود ندارد؟ یادداشت‌هایِ درس به روشنی پاسخ می‌دهند: گروهِ متقارنِ S_n برای تمامِ مرتبه‌های پنج و فراتر، دارای زیرگروهِ متناوب A_n است که همواره ساده و غیرآبلی است.

از این رو، زنجیرهٔ جابه‌جاگرها در مرتبهٔ نخست از S_n به A_n نزول می‌کند، اما در پلهٔ دوم بر رویِ A_n متوقف مانده و تا ابد به {e} نمی‌رسد. این بدان معناست که هیچ دستگاهِ متناهی از ریشه‌گیری‌هایِ پی‌درپی نمی‌تواند تمامِ ریشه‌هایِ یک چندجمله‌ایِ دلخواه درجه ۵ را شکار کند.