دفتر گالوا: همارزیِ سریهای حلپذیر و تقارنهای دووجهی $D_{2n}$
در برگههای ۸۲ و ۸۳، پلی استوار میان دو نگرش برپا میشود:
۱. تعریف بر حسب سری زیرنرمال (Subnormal Series):
گروه $G$ حلپذیر است اگر و تنها اگر زنجیرهای از زیرگروهها بهصورت زیر وجود داشته باشد:
G = G_0 ≥ G_1 ≥ G_2 ≥ ... ≥ G_k = 1
بهگونهای که در هر پله، $G_{i+1}$ درون $G_i$ نرمال باشد ($G_{i+1} \triangleleft G_i$) و گروه خارجقسمتی حاصل ($G_i / G_{i+1}$) آبلی باشد.
۲. تحلیل گروه دووجهی چندضلعیها ($D_{2n}$):
گروه دووجهی $D_{2n}$ شامل تقارنهای چرخشی و بازتابی یک $n$-ضلعی منتظم است:
D_{2n} = ⟨ a, b | a^n = 1, b^2 = 1, bab = a^(-1) ⟩
با انتخاب زیرگروه چرخشی $G_1 = \langle a \rangle$، زنجیرهای با طول ۲ تشکیل میشود:
D_{2n} ≥ ⟨ a ⟩ ≥ 1
چون $G_1$ دوری و آبلی است و شاخص آن در گروه اصلی ۲ است ($D_{2n}/G_1 \cong Z_2$ که آبلی است)، همهی فاکتورها آبلی بوده و در نتیجه تمام گروههای دووجهی $D_{2n}$ همواره حلپذیرند. این نتیجه نشان میدهد تمام تقارنهای هندسی منظم در صفحه، جبری حلپذیر دارند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.