دفتر گالوا: خصلتِ موروثی؛ وقتی حل‌پذیری در نسل‌ها جاری می‌شود
یکی از زیباترین قضایای ثبت‌شده در این دست‌نوشته‌ها، برهان استقراییِ حفظ حل‌پذیری در اندام‌های فرعی یک گروه است:
قضیه: اگر $G$ حل‌پذیر باشد، هر زیرگروه آن مانند $H \le G$ و هر گروه خارج‌قسمتی آن مانند $G/N$ (که در آن $N \triangleleft G$) نیز حل‌پذیر خواهند بود.
برهان شهودی به زبان استقراء:
۱. در پایه‌ی استقراء داریم $H^{(0)} = H \le G = G^{(0)}$.
۲. با فرض استقراء که $H^{(k)} \le G^{(k)}$ باشد، کموتاتورها مشمول یکدیگر می‌شوند:
H^(k+1) = [H^(k), H^(k)] ≤ [G^(k), G^(k)] = G^(k+1)
پس به حکم استقراء برای هر $n$ داریم $H^{(n)} \le G^{(n)}$. اکنون چون $G$ حل‌پذیر است، پس از چند گام $G^{(n)} = 1$ می‌شود و لاجرم $H^{(n)} \le \{1\}$ که نتیجه می‌دهد $H^{(n)} = 1$.
این قاعده به ما اطمینان می‌دهد که ساختار حل‌پذیری، کیفیتی پایدار و تجزیه‌پذیر است؛ خرد کردن یک سیستم حل‌پذیر هرگز آشوب تولید نمی‌کند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.