ریاضیات

دفتر گالوا: کالبدشکافی S_$؛ رقصِ جایگشت‌ها با طول حل‌پذیری ۲

گروه تقارنی $S_3$ که بر سه شیء عمل می‌کند و از مرتبه‌ی ۶ است، کوچک‌ترین گروهِ نامتقارن (غیرآبلی) در پهنه‌ی جبر است:

استاد در برهان دست‌نویس خود نشان می‌دهد که چگونه جابه‌جاگرها رفتار می‌کنند:

کموتاتور عناصر مولد برابر است با $[a, b] = a^{-1} b^{-1} a b = a^{-1} a^{-1} = a^{-2} = a$. از آنجا که زیرگروه دوری تولیدشده توسط چرخش‌ها یعنی $N = \langle a \rangle = \{1, a, a^2\}$ دارای شاخص ۲ در $S_3$ است ($[S_3:N]=2$)، نرمال بوده و خارج‌قسمت آن مرتبه ۲ و در نتیجه آبلی است.

پس مشتق اول دقیقاً برابر همان زیرگروه متناوب $A_3$ یا $\langle a \rangle$ می‌شود:

چون $G'$ خود گروهی دوری و آبلی است، مشتق بعدی آن بی‌درنگ برابر عنصر واحد می‌گردد: $G^{(2)} = [G', G'] = \{1\}$. بدین‌ترتیب، زنجیره‌ی مشتقات با دو گام به خاموشی می‌رسد:

این برهان نشان می‌دهد که چرا معادلات درجه ۳ جبری، علی‌رغم پیچیدگی جایگشت‌ها، کاملاً از طریق رادیکال‌ها رام‌شدنی و حل‌پذیرند.