دفتر گالوا (۴۸): دریچهیِ نهم، معجزهیِ چرخش
ای دوست! در پستهایِ پیشین گفتیم که «جبرِ رادیکالی» در برابرِ معادلاتِ درجهیِ پنج به دیوارِ بسته رسید. اما گفتیم که هندسه، بالهایِ پرواز است. امروز میخواهیم ببینیم این «پرواز» چگونه در تاریخِ ریاضیات رخ داد. مثالِ آن، بسیار ساده و در عینِ حال حیرتانگیز است: «حلِ ریشهیِ منفی».
بنبستِ کهن:
قدما میگفتند هیچ عددی در خودش ضرب نمیشود که حاصلش «منفی» شود. این، یک «دیوارِ جبری» بود. آنها در خطِ مستقیمِ اعداد محبوس بودند. اما هندسه آمد و گفت: «چرا فقط در یک خط حرکت میکنید؟ به فضایِ دوم (صفحه) بیاندیشید!»
هندسه، پرده را کنار زد و گفت: «ضرب در عددِ منفی، در واقع یک چرخش است.»
(خطِ مستقیم: حرکت به جلو و عقب)
↓
(صفحهیِ پیچیده: امکانِ چرخش به بالا و پایین)
وقتی ریاضیدانان «عالمِ اعداد» را از خطِ یکبُعدی به «صفحهیِ دوبُعدی» (اعدادِ مختلط) گسترش دادند، آن بنبستِ کهن ناگهان گشوده شد. آن «ریشهیِ منفی» که در جبر غیرممکن بود، در هندسه تبدیل شد به «چرخشِ نود درجه». این همان پرواز است! یعنی حلِ مشکل نه با فشارِ بیشتر بر جبر، بلکه با تغییرِ زاویهیِ دید.
این درس، قانونِ طلاییِ گالوا برایِ عبور از دیوارِ پنجم است: وقتی معادلهای با رادیکالها در «خطِ اعداد» حل نمیشود، یعنی باید «سطحِ حل» را تغییر دهیم. ما باید واردِ دنیایِ «سطوحِ ریمانی» شویم؛ جایی که به جایِ یک صفحه، با سطحی چندلایه و پیچدرپیچ روبروییم.
«چون راه درِ بسته شد و جبر ناتوان،
هندسه، درهایِ بسته را به چرخش گشود.»
*آیا اکنون درمییابید که چرا برایِ فهمِ معادلاتِ پیچیده، باید «سطحِ نگاه» را از صفحه به «حجم» و «سطوحِ منعطف» ارتقا دهیم؟*
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.