دفتر گالوا (۳۸): دیارِ مشخصهی p
قوانینِ متفاوت در سرزمینِ اعدادِ پیمانهای
طلسمِ اعدادِ گویا
تمامِ شهودِ ما از اعداد (مانند x² - 2 = 0) در میدانهایی است که «مشخصهی صفر» دارند؛ یعنی جمعِ یکها هرگز صفر نمیشود. اما در سرزمینِ اعدادِ پیمانهای (مشخصهی p)، اوضاع متفاوت است. در آنجا، p بار جمعِ یک، به صفر میرسد و این، بسیاری از قوانینِ معمولِ ریشهیابی را در هم میشکند.
خودریختیِ فروبنیوس
در مشخصهی p، نگاشتی وجود دارد که به آن «فروبنیوس» میگوییم: نگاشتِ به توانِ p رساندن. این نگاشت، عجیب و سحرآمیز است؛ چون در این دنیا، (a+b) به توان p دقیقاً میشود a^p + b^p. این ویژگی، جبرِ مشخصهی p را از جبرِ معمول جدا میکند.
اینجاست که مفهومِ «تفرّقناپذیری» (Inseparability) متولد میشود. در این دنیا، گاهی ریشهها چنان با هم یگانه میشوند که دیگر نمیتوان آنها را با «مشتق» از هم جدا کرد. گالوا در این دیار، راهِ جدیدی برایِ اندیشیدن به تقارنِ اعداد گشود.
«در سرزمینِ مشخصهی p، قواعدِ معمولِ ما -که از اعدادِ حقیقی آموختهایم- رنگ میبازد و منطقی نو و خیرهکننده بر میدانها حاکم میشود.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.