دفتر گالوا (۳۲): تقارن در میدان‌هایِ درجه‌دوم
بررسی اتومورفیسمِ میدانِ ℚ(√m)
یک نگاشتِ جادویی
در میدانِ K = ℚ(√m)، هر عدد به شکل α + β√m است. بیایید نگاشتی تعریف کنیم که رادیکال را قرینه می‌کند:
φ(α + β√m) = α − β√m
آیا این یک اتومورفیسم (تقارنِ درونی میدان) است؟ یعنی آیا ساختارِ جمع و ضرب را حفظ می‌کند؟
حفظِ پیوندها
پاسخ مثبت است! وقتی دو عدد را با هم جمع می‌کنیم، نگاشت φ تک‌تکِ آنها را قرینه می‌کند و حاصل‌جمعِ آنها نیز همان‌گونه تغییر می‌کند. در ضرب نیز، به دلیلِ ماهیتِ مزدوج‌گیری، ضربِ قرینه‌ها برابر با قرینه‌یِ ضرب است.
φ در اینجا «همانی» را به «همانی» (1 به 1) و «صفر» را به «صفر» می‌فرستد. این نگاشت، آینه‌ای است که میدان را در خودش منعکس می‌کند، بی‌آنکه چیزی از ماهیتِ جبریِ آن کاسته شود.
«تقارن یعنی همین؛ آن‌جا که می‌توان از دلِ پیچیدگی‌ها، آینه‌ای ساخت که همه چیز را وارونه کند، اما حقیقتِ پیوندها و قوانینِ جمع و ضرب را دست‌نخورده باقی بگذارد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.