دفتر گالوا (۲۹): استقلالِ اتومورفیسم‌ها
در اثباتِ ددکیند-آرتین
یک سپاه، بی‌هیچ وابستگی
اگر اتومورفیسم‌هایِ یک میدان K را چون سپاهی در نظر بگیریم، آیا می‌توان یکی را ترکیبی از دیگران دانست؟
قضیه می‌گوید: «تمامیِ اتومورفیسم‌هایِ متمایزِ یک میدان، نسبت به یکدیگر مستقلِ خطی‌اند.»
به زبانِ ساده: اگر σ₁, σ₂, ... , σₙ اتومورفیسم‌هایی متمایز باشند، محال است بتوان با ضرایبی در میدانِ K، ترکیبی از آنها ساخت که حاصلش «صفر» شود (مگر آنکه همهٔ ضرایب صفر باشند).
برهانِ خلف: در جستجویِ تناقض
فرض کنیم وابسته‌اند. پس باید «کوتاه‌ترین» ترکیبِ خطیِ غیرصفر را داشته باشیم.
اگر a₁σ₁ + ... + aₙσₙ = 0 باشد، با اعمالِ این کنش بر حاصل‌ضربِ دو عنصر در میدان و اندکی بازیِ جبری، می‌توانیم وابستگی‌ای کوتاه‌تر بسازیم.
این «کاهشِ گام‌به‌گام»، در نهایت ما را به تناقض می‌رساند؛ چرا که «مختصرترین» وابستگی، خود در دامِ تناقض گرفتار می‌شود. پس چاره‌ای نیست جز اینکه بپذیریم: آنها هرگز وابسته نمی‌شوند.
«در دشتِ اعداد، اتومورفیسم‌ها چون ستارگانِ آسمان‌اند؛ هر یک در مدارِ خویش، مستقل و بی‌نیاز از دیگری. هیچ‌کدام را نمی‌توان با جادویِ جمع و ضرب، در دیگری مستحیل کرد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.