دفتر گالوا (۲۷): ایستایی در میدانِ مکعبی
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسنآبادی
چالشِ میدان K = ℚ(√[3]2)
آیا همیشه «جابهجایی» ممکن است؟ بنگرید به K = ℚ(√[3]2). چندجملهایِ x³ - 2 بر ℚ تجزیهناپذیر است و درجهٔ توسیع برابر ۳ میباشد.
برای یک نگاشتِ σ ∈ Aut(K)، باید داشته باشیم:
σ(√[3]2) ریشهای از x³ - 2 در K باشد.
اما ریشههای این چندجملهای عبارتند از: √[3]2، ω√[3]2 و ω²√[3]2.
از این میان، تنها √[3]2 در میدان K حضور دارد! دو ریشهٔ دیگر مختلطاند و به خارج از K تعلق دارند.
نتیجه: گروه گالوایِ گریزان
چون σ چارهای جز نگاشتنِ √[3]2 به ریشهای درونِ K ندارد، پس حتماً باید σ(√[3]2) = √[3]2 باشد. یعنی σ همان نگاشتِ همانی است!
Aut(K) = { id } = { 1 }
این میدانِِ غریب، به دلیلِ «کمبودِ ریشه»، هیچ تقارنی را برنمیتابد و گروهِ گالوا در آن، «بیاثر» (Trivial) است.
«تقارن، خورشیدی است که تنها در آسمانِ میدانهای «شکافنده» طلوع میکند؛ و میدانِ ℚ(∛2)، از آنرو که تاریکخانهی ریشههاست، از تقارن تهی است.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.