دفتر گالوا (۲۶): در آینهٔ مزدوجات
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
نگاهی به گروه G(ℂ, ℝ)
میدانِ ℂ (اعداد مختلط) را بر پایهٔ ℝ (اعداد حقیقی) در نظر آورید. چگونه می‌توان ساختارِ این میدان را حفظ کرد و جابه‌جا نمود؟
هر نگاشتِ σ در گروه گالوا باید ریشه‌های چندجمله‌ای x² + 1 = 0 را به یکدیگر نگاشت کند. پس σ(i) یا i است (نگاشتِ همانی) یا −i (مزدوج‌گیری).
G(ℂ, ℝ) = { σ₁, σ₂ }
در اینجا σ₁(a+bi) = a+bi (همانی) و σ₂(a+bi) = a-bi (مزدوج مختلط) است. این گروه، متقارن‌ترین و آشناترین گروهِ گالواست که «زوجیت» را در اعداد به تصویر می‌کشد.
میدانِ ثابت (Fixed Field)
کدام عناصر در این میدان، «ثابت» می‌مانند؟ یعنی تحتِ کنشِ هر دو عضوِ گروه، از جایِ خود نمی‌جنبند؟
اگر σ(z) = z برای هر σ باشد، آن‌گاه a+bi = a-bi که نتیجه‌اش b=0 است.
CG(ℂ, ℝ) = ℝ
این یعنی تنها اعدادِ «حقیقی» هستند که از این تقارنِ آینه‌ای مصون مانده‌اند و ثابت ایستاده‌اند.
«تقارن، در آینهٔ مزدوجاتِ مختلط جلوه‌گر است؛ تنها آن‌کس که در حقیقتِ مطلق (اعداد حقیقی) ریشه دارد، از تلاطمِ جابه‌جایی بر کنار است.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.