دفتر گالوا (۲۵): اثبات کامل قضیهٔ عنصر اولیه — راهبردِ «جمعِ موزون»
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
صورت قضیه
اگر F میدانی با char F = 0 (یا F متناهی!) باشد و a, b جبرانی روی F باشند، آن‌گاه توسیعِ دوتاییِ F(a, b) توسیعی ساده است؛ یعنی عنصری چون c هست که:
F(a, b) = F(c)
گام صفر: کاستن به توسیعِ دوتایی
چون توسیع متناهی را می‌توان به صورت زنجیره‌ای از توسیع‌های دوتایی نوشت، کافی است دو عنصر جبرانیِ دلخواه a و b را در یک عنصرِ یگانه ذوب کنیم.
قلبِ اثبات: انتخابِ هوشمندانه
حدسِ ناب این است: c = a + & درستِ . اما چه ضابطه‌ای برای این انتخاب؟γ ∈ F. اما; ∈ F
چندجمله‌ای‌های حداقلی را بنویسیم:
pa(t) = (t − α&sub1;)(t − α&sub2;)…(t − αm) با α&sub1; = a
pb(t) = (t − b&sub1;)(t − b&sub2;)…(t − bn) با b&sub1; = b
ریشه‌های این دو چندجمله‌ای مجموعه‌های متناهی‌اند. باید γ را طوری برگزینیم که برای همهٔ جفت‌های (i, j) با 1 ≤ i ≤ m و 1 < j ≤ n:
αi + γ bj ≠ α + γ b (۱)
برای هر جفتِ (i, j) نامساویِ (۱,۱)، رابطهٔ (۱) حداکثر یک مقدارِ ویژه از γ را ممنوع می‌کند: γ = (αi − α)/(b − bj). چون char F = 0 (یا F متناهی است و کstensها محدودند)، شمارِ مقادیرِ ممنوع، متناهی است و F بی‌کران؛ پس گزینشِ ممکنِ γ همیشه یافت می‌شود!
برهان نهایی: چرا b در F(c) می‌افتد؟
گام ۱: واضح است c = a + γ b ∈ F(a, b)، پس F(c) ⊆ F(a, b).
گام ۲: چندجمله‌ای h(x) = pa(c − γ x) ∈ F(c)[x] را بسازیم. توجه کنید که b ریشهٔ h است:
h(b) = pa(c − γ b) = pa(a) = 0 ∴ (x − b) | h(x)
و نیز (x − b) | pb(x)؛ پس:
(x − b) | (h(x), pb(x))
گام ۳ — ضربهٔ نهایی: برای هر ریشهٔ دیگرِ bj از pb:
h(bj) = pa(c − γ bj) = pa(a + γ b − γ bj) ≠ 0
زیرا به فرضِ (۱)، a + γ b − γ bj هیچ‌یک از ریشه‌های αi نیست. پس هیچ (x − bj) با j > 1 در h نمی‌گنجد و تنها عاملِ مشترکِ h و pb عیناً (x − b) است:
(h(x), pb(x)) = (x − b) ∈ F(c)[x]
گام ۴: از آن‌جا که b ∈ F(c)، ناگزیر a = c − γ b ∈ F(c) و در نتیجه F(a, b) ⊆ F(c). با گام ۱، برابری حاصل است و قضیه تمام می‌شود!
پیوندcolor: #2c3e50; margin-top: 0;">پیوند √2 + √3، همین راهبرد با γ = 1 و c = √2 + √3 به‌کار رفت و میدانِ ۴بُعدیِ ℚ(√2, √3) در یک عنصرِ یگانه ذوب شد — تجلیِ مصداقیِ قضیهٔ عنصر اولیه.
«هنرِ جبردان در گزینشِ ضریبی است که همهٔ تداخل‌های نامطلوب را کنار می‌زند و دو جهانِ جدا را در یک نقطه به هم می‌بافد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.