دفتر گالوا (۱۷): مرگِ دو معما — تثلیث زاویه و تربیع دایره
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
الف) تثلیث زاویه: چرا ۲۰ درجه ساخت‌پذیر نیست؟
زاویهٔ ۶۰ درجه با خط‌کش و پرگار به‌سادگی ساختنی است (کافی است مثلث متساوی‌الاضلاع بکشیم). پرسش این بود: آیا می‌توان آن را به سه بخشِ مساوی تقسیم کرد؛ یعنی زاویهٔ ۲۰ درجه ساخت؟
از اتحادِ معروف مثلثات می‌دانیم:
cos 60° = cos(3 × 20°) = 4cos³20° − 3cos 20°
چون cos 60° = 1/2 است، اگر x = cos 20° ∈ ℝ بگذاریم، به چندجمله‌ایِ زیر می-align: center; background: #
4x³ − 3x − 1/2 ∈ ℚ[x] ‏rlm;rlm;rarr; معادلِ صحیح: 8x³ − 6x − 1 ∈ ℤ[x]
با آزمودنِ مقسوم‌علیه‌های جزء ثابت (±1، ±1/2)، این چندجمله‌ای روی ℚ ریشهٔ گویا ندارد؛ پس (به‌دلیل درجهٔ ۳) روی ℚ تجزیه‌ناپذیر است و چندجمله‌ایِ کمینهٔ cos 20° درجهٔ ۳ دارد. اما ساخت‌پذیری ایجاب می‌کرد درجه، توانی از ۲ باشد — و ۳ چنین نیست. پس:
تثلیث زاویهٔ ۶۰ درجه ناممکن است ‏rlm;rlm;rlm;rarr; پاسخِ منفی به معمای دوهزارسالهٔ یونان
ب) تربیع دایره: گناهِ پی (π)
مسأله: دایره‌ای با شعاع ۱ داده‌ایم؛ مربعی هم‌مساحت با آن رسم کنید. مساحتِ دایره π است، پس ضلعِ مربع باید α باشد که:
α² = 1² · π = π ‏rlm;rlm;rarr; α = √π
اگر √π ساخت‌پذیر بود، آن‌گاه π = (√π)² نیز ساخت‌پذیر می‌بود و درجهٔ [ℚ(π):ℚ] باید توانی از ۲ می‌شد. اما لیندمان در سال ۱۸۸۲ ثابت کرد که π عددی متسام (گنگِ غیرجبری) است؛ یعنی چندجمله‌ایِ کمینه‌ای بر ℚ ندارد و درجه‌اش اصلاً متناهی نیست! پس:
تربیع دایره نیز ناممکن است.
بدین‌سان از سه معمای بزرگ، دو معما با همان شرطِ «درجه = توان ۲» به‌سادگی درو شد؛ تنها تضعیف مکعب (∛2 با درجه ۳) پیش‌تر در پست شانزدهم بسته شده بود.
«هزاران سال، هندسه‌دانان پرگار می‌چرخاندند؛ اما پاسخ، در عمقِ میدان‌ها و درجه‌های توسیع پنهان بود.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.