دفتر گالوا (۱۵): معمای هندسهٔ یونان در ترازوی جبر
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
ابزارهای مجاز: خط‌کشِ غیرمدرج و پرگار
از دورانِ اقلیدس، سه مسألهٔ بزرگ ذهن بشر را به خود مشغول ساخته بود: «تثلیث زاویه»، «تضعیف مکعب» و «تربیع دایره». قوانینِ بازی ساده بود: تنها با خط‌کشی بدون درجه‌بندی و یک پرگار رسم کنید. اما پاسخِ چراییِ ممکن بودن یا نبودن، پس از دو هزار سال در زبانِ توسیعِ میدان‌ها کشف شد!
ترجمهٔ هندسه به جبر: نقاط و خطوط در میدان F
فرض کنید مجموعه‌ای از نقاط معلوم در صفحه داریم که مختصات آنها متعلق به میدانی چون F است (در آغاز، F = ℚ):
- رسم خط: خط گذرنده از دو نقطهٔ
P=(x₁, y₁)وQ=(x₂, y₂)با مختصات در F، معادله‌ای به صورتax + by + c = 0دارد که ضرایبa, b, c ∈ Fهستند. - رسم دایره: دایره‌ای با مرکز
P ∈ F²و شعاعی برابر فاصلهٔ دو نقطه در F، معادله‌ای دارد به صورت:x² + y² + dx + ey + f = 0که همگیd, e, f ∈ Fهستند.
تقاطع‌ها چه توسیعی می‌سازند؟
تولیدِ هر نقطهٔ تازه در صفحه تنها از سه راهِ زیر ممکن است:
- تقاطع دو خط: حل دستگاه دو معادلهٔ درجه یک؛ مختصات نقطهٔ تقاطع همچنان در همان میدان
Fباقی می‌ماند ([F:F] = 1). - تقاطع خط و دایره: جایگذاری معادلهٔ خط در دایره به یک معادلهٔ درجه دو می‌انجامد. پس مختصاتِ نقطهٔ نو در توسیعی چون
F(√d)قرار می‌گیرد که درجهٔ آن بر F برابر ۱ یا ۲ است. - تقاطع دو دایره: تفریق معادلهٔ دو دایره، معادلهٔ خطیِ محور تقاطع را می‌دهد و مسأله به حالتِ خط و دایره بازمی‌گردد؛ یعنی باز هم حداکثر توسیعی از درجه ۲!
هر گام با خط‌کش و پرگار ⇔ حداکثر یک جذرِ دوم ⇔ توسیع از درجهٔ ۲
«پرگار کمان می‌زند و خط‌کش امتداد می‌دهد؛ اما جبر می‌گوید هیچ کمانی فراتر از ریشهٔ دوم پرواز نمی‌کند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.