ریاضیات

دفتر گالوا (۱۳): استقرا بر درجه — بسطِ قضیه به توسیع‌های متناهی

درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی

پایهٔ استقرا: [E:F] = 1

اگر [E:F] = 1 باشد، آن‌گاه E = F است (یعنی f(x) بر F شکسته است) و هم‌ریختیِ τ : F ≅ F′ = E′ با τ(α) = α′ خودِ قضیه است؛ چیزی برای اثبات نمی‌ماند.

گام استقرا برای [E:F] = n > 1

حالتِ پایانی: f(x) بر F تجدیدناپذیر است (اگر نبود، از ریشه‌ای مانند v بر F تجزیه می‌شد و قضیه در آن ریشه برقرار می‌گشت). پس [F(v):F] = 2 > 1 و به‌مددِ قضیهٔ برج (بند A):

در سویِ دیگر نیز p′(t) = τ*(p(x)) تجدیدناپذیر است و [F′(ω):F′] = 2 و:

اکنون قضیهٔ پیشین (پست ۱۲) هم‌ریختیِ σ : F(v) ≅ F′(ω) با σ(v) = ω و σ|F = τ می‌دهد؛ و چون [E:F(v)] = n/2 < n، به فرضِ استقرا، σ به هم‌ریختیِ E ≅ E′ بسط می‌یابد. دایره بسته شد.

نتیجهٔ نهایی: درجه‌ها نیز برابرند

چون هم‌ریختی، پایه را به پایه می‌بَرد، برای همیشه:

نکتهٔ ظریفِ آخرِ برگ‌ها: گفته شد اگر [E:F] = 1، آنگاه E = F؛ اما درجهٔ توسیع لزوماً ۲ نیست — همان‌طور که در برج دیدیم، درجه‌ها در هم ضرب می‌شوند و قضیهٔ برج، کلیدِ گامِ استقراست. نیز اگر [E:F] = m > 1 و f(x) تجدیدناپذیر با ریشه‌ای در E، آنگاه f(n) در F(x) (بر حسب درجه) محدود می‌شود — این همان قیدِ «تجدیدناپذیری» است که به قضیهٔ درجه سخت‌گیری می‌کند.

«استقرا چون نردبانِ نور است: از پلهٔ یک، تا قلهٔ n، و در هر پله، میدانی نو، و در هر میدان، یک نقشهٔ کهن.»