دفتر گالوا (۱۲): ریشه‌های برابر، میدان‌های برابر
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
صورت قضیه
فرض کنیم τ : F ≅ F′، p(x) ∈ F[x] تجدیدناپذیر، v ریشهٔ p در توسیعی از F و ω ریشهٔ p′(t) = τ*(p(x)) در توسیعی از F′. آن‌گاه هم‌ریختیِ σ وجود دارد با:
اثبات: هستهٔ ارزیابی
ارزیابیِ Ψ : F[x] → F(v) با Ψ(f(x)) = f(v) «هم‌ریختی» است و هسته‌اش:
M = ker Ψ = { f(x) ∈ F[x] | f(v) = 0 }
چون p(v) = 0، داریم p(x) ∈ M و چون p تجدیدناپذیر است و M ایده‌آلِ اصلیِ F[x] (که ناحیهٔ ایده‌آل اصلی است)، نتیجه می‌شود M = ⟨p(x)⟩. به حکمِ قضیهٔ اولِ هم‌ریختی:
Ψ* : F[x]/⟨p(x)⟩ ≅ F(v) ، Ψ*(x + ⟨p(x)⟩) = v
) &ز F(v) ⊆ RΨ زیرا F ∪ {v} ⊆ RΨ و F(v) کوچک‌ترین میدانِ دربرگیر کوچک‌ترین میدانِ دربرگیر دیگر نیز برقرار است:
θ* : F′[t]/⟨p′(t)⟩ ≅ F′(ω) ، θ*(t + ⟨p′(t)⟩) = ω
اکنون کافی است نردبانِ پستِ پیش را برچینیم:
σ = θ* ˆ τ** ˆ (Ψ*)−1 : F(v) ≅ F′(ω)
دو شرطِ پایانی
شرط اول: σ(v) = ω، زیرا:
σ(v) = θ* τ** (Ψ*)−1(v) = θ* τ**(x + ⟨p(x)⟩) = θ*(t + ⟨p′(t)⟩) = ω ✔
شرط دوم: σ(α) = α′ برای هر α ∈ F، زیرا:
σ(α) = θ* τ**(α + ⟨p(x)⟩) = θ*(α′ + ⟨p′(t)⟩) = α′ ✔
حالت خاصِ تقدیف‌شده
اگر F = F′ و p(x) تجدیدناپذیر و a، b دو ریشهٔ آن، آن‌گاه F(a) ≅ F(b) با هم‌ریختی‌ای که a را به b می‌بَرد و F را ثابت نگاه می‌دارد. مثلِ معروف: ℚ(∛2) ≅ ℚ(ω∛2) — دو ریشهٔ یک چندجمله‌ایِ تجدیدناپذیر، دو خانه‌اند با یک نقشه.
«ریشه‌ها برادرند؛ اگر زادهٔ یک چندجمله‌ایِ تجدیدناپذیر باشند، میدPان‌هایشان نیز یکسانند، جز در نام.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.