دفتر گالوا (۹): تولد میدان از خارج‌قسمت
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
یادآوری: میدان چیست؟
حلقهٔ یک‌نهاییِ جابه‌جایی‌ای که در آن هر عنصرِ ناصفر وارون دارد، میدان است. در ℝ مثلاً a·b = 0 با a ≠ 0 ≠ b ناممکن است؛ زیرا اگر a ≠ 0، از a·x = 1 (یعنی وارونِ a) نتیجه می‌شود b = 0. این «بدهبستانِ ضرب»، جانِ میدان است.
ساختنِ میدانِ E از p(x)
اگر p(x) ∈ F[x] تجدیدناپذیر باشد، ایده‌آلِ I = ⟨P(x)⟩ ماکسیمال است و خارج‌قسمتِ زیر، میدانی است با توسیعِ F:
E = F[x] / I ، [E : F] = deg p(x) = n
و هم‌ریختیِ ارزیابی، این میدانِ نوپا را به جهانِ ملموس می‌بندد:
Ψ : F[x] → E ، Ψ(f(x)) = f(x) + I ، Ψ|F : α → α + I
هستهٔ این هم‌ریختی، دقیقاً ایده‌آلِ I است و به حکمِ قضیهٔ اولِ هم‌ریختی‌ها، F[x]/I هم‌ریخت با تصویرِ Ψ است.
پایهٔ شگفت: {1+I, x+I, ..., xn-1+I}
برای هر g(x) = a0 + a1x + … + anxn ∈ F[x] داریم:
Ψ(x) = x+I = α ⇒ g(α) = a0 + a1α + … + anαn
یعنی هر عنصرِ E، ترکیبی خطی از {1, α, ..., αn-1} با ضرایبِ F است؛ پس این مجموعه مولد است و چون n عنصر دارد و [E:F] = n، پایه نیز هست. همان پایهٔ شگفتِ برگ‌های پیشین، این‌بار از راهِ خارج‌قسمت به دست آمد.
«از خاکِ تجدیدناپذیری، میدانی نو زاییده می‌شود و ارزیابی، پلِ بازگشت اوست به خانهٔ اول.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.