دفتر گالوا (۸): دوجملهٔ نیوتن بر میدانها و ریشههای چندجملهای
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسنآبادی
توجه: (a+b)p همیشه همان نیوتنِ آشنا نیست!
آنچه در دبیرستان آموختیم — بسطِ دوجملهای با ضرایبِ ترکیبی — تنها در میدانهایی با مشخصهٔ صفر برقرار است. اگر میدانِ F دارای مشخصهٔ p باشد (یعنی p بارِ جمعِ یک با خود، صفر دهد)، آنگاه:
(a + b)p = ap + bp
زیرا همهٔ ضرایبِ میانیِ ترکیبی، بخشپذیر بر p هستند و در چنین میدانی، p برابرِ صفر است. این «دوجملهٔ تازه»، کلیدِ بسیاری از قضایا در میدانهای متناهی است.
قضیهٔ باقیمانده و ریشهها
فرض کنید F ⊆ K، p(x) ∈ F[x] و b ∈ K. تقسیمِ p بر (x−b) همواره ممکن است:
p(x) = (x−b)·q(x) + p(b) ، deg q(x) = deg p(x) − 1
نتیجهٔ مستقیم، قضیهٔ عامل است:
(x−a) | p(x) ⇔ p(a) = 0
یعنی «ریشه بودن» و «بخشپذیری بر (x−a)» دو بیانِ یک حقیقتاند.
تعدادِ ریشهها و شرطِ یکتایی
اگر a ریشهٔ p باشد و p را از (x−a) بهطورِ یکتا بخشپذیر بدانیم، آنگاه دو حالت داریم:
(x−a)m | p(x)اما(x−a)m+1 ∤ p(x)؛ یعنی a ریشهای با «تکرارِ m» است.- اگر
deg p(x) = nباشد، p بیش از n ریشه (با احتساب تکرار) در هیچ توسیعی از F ندارد.
و یادآوریِ مثالِ همیشگی: x2+1 ∈ ℝ[x] ریشهای در ℝ ندارد، اما در توسیعِ ℂ دو ریشه مییابد. چندجملهای، ریشههایش را در میدانِ خویش نمیجوید؛ باید درِ توسیع را گشود.
«ریشه، در خاکِ میدانِ تازه میروید؛ نه در باغِ مادری.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.