دفتر گالوا (۷): عنصر جبری، میانه‌گیری و متعالی‌ها
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
کِی عنصری بر میدانی جبری است؟
میدانِ K را توسیعی از F گرفته‌ایم و عنصری چون c عضوِ K است. گویند c بر F جبری است هرگاه چندجمله‌ایِ ناصفری چون زیر، وجود داشته باشد که c ریشه‌اش باشد:
0 ≠ f(x) = k0 + k1x + … + kn-1xn-1 + xn ∈ K[x]
و عنصرِ c را متعالی (varr超越ی) بر F گویند هرگاه چنین چندجمله‌ای‌ای موجود نباشد.
حیلهٔ میانه‌گیری: اشتراک با F
اگر c بر F جبری باشد، ضریب‌های چندجمله‌ایِ کمینه‌اش را از میانِ K برمی‌داریم و میانه‌ای می‌سازیم:
M = K ∩ همهٔ ضرایبِ ... (k0, k1, …, kn-1)
یعنی کوچک‌ترین میدانی که هم F را در بر دارد و هم همهٔ این ضرایب را. روشن است:
F ⊆ M ⊆ K
با این حیلت، چندجمله‌ایِ کمینهٔ c بر M ساخته می‌شود و برجِ سه‌پله‌ای زیر شکل می‌گیرد:
[M(c) : F] = [M(c) : M] × [M : F]
و از آن‌جا که F ⊆ M(c)، این برج باز هم حکمِ پیشین را به یاد می‌آورد: درجه‌ها ضرب می‌شوند و هیچ درجه‌ای بی‌حساب، به میانه راهی نیست.
سه مثال بر سرِ Q
بر سرِ میدانِ اعداد گویا (Q)، این سه را به یاد آوریم:
- √2 بر Q جبری است؛ زیرا
f(x) = x2 − 2و ریشه‌اش است. - √p (برای هر عدد اولِ p) جبری است؛
f(x) = x2 − p. - اما e و π بر Q متعالی‌اند؛ یعنی هیچ چندجمله‌ایِ با ضرایب گویا ندارند که ریشه‌شان باشند (اثباتش از حوزهٔ این جزوه بیرون است، اما نتیجه‌اش مشهور است).
یعنی در جهانِ جبر، عنصر جبری و متعالی، دو ساحتِ جدا از هم‌اند: یکی در چندجمله‌ای‌ها ریشه می‌زند و دیگری، چون مِهرِ بر در، بیرون از همهٔ معادله‌ها می‌ایستد.
«جبری، ریشه در معادله دارد؛ متعالی، بی‌ریشه در آسمانِ اعداد سر می‌کشد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.