دفتر گالوا (۶): درجه‌های میانی و توسیع‌های جبری
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی
هر عنصرِ میانی، درجه‌ای بخش‌پذیر دارد
در برجِ توسیع‌ها، اگر a و b را به میدانِ F بیفزاییم، آن‌گاه F(a,b) به دست می‌آید. اکنون برای هر عنصرِ دلخواه چون c ∈ F(a,b) (مانند a+b، ab یا a/b)، می‌دانیم که F(c) خود میدانی است که میانِ F و F(a,b) جای گرفته است:
F ⊆ F(c) ⊆ F(a,b)
به حکمِ قضیهٔ برج، درجهٔ توسیعِ کلی، حاصل‌ضربِ درجاتِ پله‌هاست:
[F(a,b) : F] = [F(a,b) : F(c)] × [F(c) : F]
نتیجهٔ شگفت این که [F(c) : F] لزوماً «شمارنده» یا «قسمت‌کننده»ی [F(a,b) : F] است. این یعنی درجه‌ها در این فضایِ ریاضی، نه به‌دلخواه، که بر اساسِ هندسهٔ برج، مقدر شده‌اند.
تعریفِ توسیعِ جبری
گویند میدانِ K توسیعی جبری از میدانِ F است (با فرضِ F ⊆ K)، هرگاه هر عضوِ K بر F جبری باشد؛ یعنی هر عنصر، ریشه‌یِ لااقل یک چندجمله‌ایِ ناصفر با ضرایبِ F باشد.
درسِ این بخش گویایِ آن است که «جبری بودن» و «متناهی‌بودنِ درجه»، پیوندی ناگسستنی دارند؛ هرچند یک توسیعِ جبری در کلیتِ خود می‌تواند بی‌نهایت‌درجه باشد (مانندِ بستارِ جبری)، اما هر عنصرِ آن، به تنهایی، جهانی محدود و متناهی‌درجه پیرامونِ خویش می‌سازد.
نمونه: ℂ توسیعی جبری است از ℝ
هر عضوِ ℂ به صورتِ a + bi است. چندجمله‌ایِ کمینه‌یِ آن بر ℝ، با ریشه‌های مزدوج ساخته می‌شود:
Pa+bi(x) = x2 &ِ ویژگی‌های یک توسیعِ جبری بر ℝ را داراست.
درجه‌یِ این چندجمله‌ای همواره ۲ است (برای b ≠ 0)، پس هر عنصرِ ℂ، توسیعی با درجه‌یِ حداکثر ۲ بر ℝ می‌سازد. بدین‌سان، ℂ تمامیِ ویژگی‌های یک توسیعِ جبری بر ℝ را داراست.
«برج‌ها پله‌پله بالا می‌روند و درجه‌ها در هر پله ضرب می‌شوند؛ که جبر، هندسه‌ای‌ست در کالبدِ اعداد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.