دفتر گالوا (۵): برجِ توسیعها و سرگذشتِ a+bi
درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسنآبادی
قضیهٔ برجِ توسیعها
دو عنصر a, b را پیاپی به میدان F بیفزاییم:
F1 = F(a) , F2 = F1(b) = F(a)(b) = F(a, b)
آنگاه چون F ⊆ F(a) ⊆ F(a,b)، برجی از توسیعها پدید میآید و به حکمِ قضیهٔ برج:
[F(a,b) : F] = [F(a,b) : F(a)] · [F(a) : F] ≤ m · n
که n درجهٔ کمینهٔ a و m درجهٔ کمینهٔ b بر میدانِ پیشین است. توجه کنید که برای هر عنصر میانی چون c ∈ F(a,b) — از جمله a+b و ab و b+α و مانند آنها — درجهٔ [F(c) : F] همواره بر این برج بخشپذیر است و از آن تجاوز نمیکند.
تعریف: گویند K توسیعی جبری از F است هرگاه هر عنصرِ K بر F جبری باشد.
نمونهٔ جاویدان: عنصر a+bi در ℂ بر ℝ
هر عنصرِ اعداد مختلط به شکل a + bi است. بپرسیم: چندجملهای کمینهٔ آن بر ℝ چیست؟ راهِ آسان، «جمعِ ریشههای مزدوج» است:
(x + bi)2 − 2a(x + bi) + a2 + b2 = 0
پس چندجملهای کمینه چنین است:
Pa+bi(x) = x2 − 2a·x + (a2 + b2)
و درجهاش ۲ است؛ لاجرم:
[ℝ(a+bi) : ℝ] = 2
و چون این برای هر عنصرِ c ∈ ℂ برقرار است، نتیجه میشود که درجهٔ هر عنصر بر ℝ، عددی است که ۲ را میبخشد؛ و همان است که میخواستیم: ℂ توسیعی جبری و درجهدو بر ℝ است.
«برجها پلهپله بالا میروند و درجهها در هر پله ضرب میشوند؛ چنان که معرفت نیز، از پایةِ یقین تا بامِ شهود، گامبهگام فزونی گیرد.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.