ریاضیات

دفتر گالوا (۴): پایهٔ شگفت و قضیهٔ [F(a):F] = deg P₀

درسگفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسن‌آبادی

طرحِ مسئله

پرسش این است: اگر a عنصری جبری بر F باشد و درجهٔ چندجمله‌ای کمینه‌اش n باشد

(یعنی deg Pa = n)، آن‌گاه [F(a) : F] = n است؛ یعنی برای هر چندجمله‌ایِ

f(x) ∈ F[x] با f(a) = 0 و f ≠ 0، ناگزیر deg f(x) ≥ n.

گام نخست: مجموعهٔ T مولّد است

مجموعهٔ زیر را در نظر گیریم:

ادعا این است که T فضای F(a) را می‌زاید. چرا؟ زیرا P_a مونیک است:

و از این عبارت، توانِ nام را می‌توان نجات داد:

یعنی توانِ nام، از بندِ توان‌های پایین‌تر می‌گریزد و در T می‌نشیند. با همین شیوه، توان‌های n+1 و بالاتر نیز — با ضربِ پیاپی و جای‌گذاریِ دوباره — به دامنِ توان‌های زیر n فرود می‌آیند. پس هر عضوِ F(a) که کسری از چندجمله‌ای‌هاست، در T بازتولید می‌شود:

و چون صورت و مخرج، هر دو در توان‌های ۰ تا n−1 می‌گنجند، مجموعهٔ T مولّدِ F(a) است؛ و نیز F ∪ {a} ⊆ T، پس:

گام دوم: استقلال خطیِ عناصر B = {1, a, a², …, a^(n−1)}

بایستیم که این عناصر، وابسته نباشند. فرض کنیم ترکیبی صفر شود:

آن‌گاه چندجمله‌ایِ f(x) = C0 + C1x + ... + Cn-1xn-1 از

F[x] وجود دارد که f(a) = 0 و deg f ≤ n−1.

اما به حکمِ کمینگیِ P_a: اگر f(a) = 0 آن‌گاه Pa | f؛

و چون P_a تجدیدناپذیر است و درجه‌اش n، تنها راهِ ممکن این است که f چندجمله‌ایِ صفر باشد:

پس B مستقل خطی است.

حکمِ نهایی

مجموعهٔ B هم F(a) را می‌زاید و هم مستقل خطی است؛ پس پایه‌ای است برای F(a) بر F:

و چون عنصر a جبری است، این درجه عددی طبیعی و متناهی است؛ بدین‌سان «جبری بودن» و «متناهی بودنِ درجه» به هم گره می‌خورند: هر عنصر جبری، توسیعی متناهی می‌زاید و هر توسیعِ متناهی، از عناصری جبری بسته است.

«توان‌ها به ریشةِ کمینه تن‌سپارند و از آن‌جا که ریشه تجزیه‌ناپذیر است، پایه برمی‌خیزد؛ بُعدِ میدان، هیچ نیست جز درجةِ بند.»