دفتر گالوا (۳): کمینه، یگانه و تجزیهناپذیر
درس گفتار نظریه گالوا — دکتر محمدی حسنآبادی
تجزیهناپذیریِ چندجملهای کمینه
بپنداریم که چندجملهای کمینه، تجزیهپذیر باشد؛ یعنی:
Pa = f · g , 1 ≤ deg f , deg g < deg Pa , f, g ∈ F[x]
اکنون در نقطهٔ a ارزیابی میکنیم:
0 = Pa(a) = f(a) · g(a)
اما میدان K بینیمساز است؛ پس حاصلضرب صفر نشود مگر یکی صفر باشد:
g(a) = 0 یا f(a) = 0.
اگر مثلاً f(a) = 0 باشد، آنگاه به حکم خصلتِ مولّد بودنِ کمینه:
Pa | f و در نتیجه deg Pa ≤ deg f — و این با فرضِ کوچکتر بودنِ درجهٔ f در ستیز است. پس:
deg g ≥ deg Pa و deg f ≥ deg Pa ناممکن است ⟸ تجزیهای در کار نیست
لاجرم Pa تجدیدناپذیر است؛ و چون مونیک هم هست، یگانه است. اگر دو مونیکِ کمینه وجود میداشت، هر یک بر دیگری بخشپذیر بود و با درجههای برابر، یکریخت میشدند.
پلّهٔ فاستونی: F(a) همریخت با F[x] بر ایدهآلِ کمینه
نگاشت ارزیابی را برپا میکنیم:
Ψ : F[x] → F(a) , Ψ(f(x)) = f(a) , ∀ f ∈ F[x]
پوشا بودن: روشن است؛ هر عضوِ F(a) تصویرِ یک چندجملهای است.
هسته:
Ker Ψ = { f(x) | f(a) = 0 } = ⟨ Pa ⟩
و به قضیهٔ نخستِ اَشکال:
F(a) ≅ F[x] / (Pa)
و چون Pa تجدیدناپذیر است، ایدهآلش بیشینه است و اَشکال، میدانی تمامعیار میشود — همانگونه که F(a) میدان است. دو سو، به هم میرسند و قفلِ قضیه باز میشود.
«کمینه، شریک نمیپذیرد؛ زیرا حقیقت، تجزیهناپذیر است.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.