پنجم: اثباتِ اینکه F(a) همان سرزمینِ کسرهاست
پیش‌تر دیدیم که مجموعهٔ همهٔ کسرهای چندجمله‌ایِ مقدر در a — یعنی
L = { ( α0 + α1a + ... + αnan) / ( β0 + β1a + ... + βmam ) | αi, βj ∈ F }
خود یک زیرمیدان از K است و مسلّماً F و a را در بر دارد:
F ∪ {a} ⊆ L ⊆ K
اما به حکمِ تعریف، F(a) کوچک‌ترین زیرمیدانی است که این دو را در آغوش گیرد؛ پس ناگزیر:
F(a) ⊆ L
گام دوم — وارونِ شمول: اکنون هر زیرمیدانِ دلخواه L′ از K را که F و a را داشته باشد در نظر بگیرید. چون L′ میدان است:
- توان‌های عنصر، یعنی
a, a2, ..., akهمگی درL′جای دارند. - پس هر ترکیب خطیِ ضریب‌دار از این توان‌ها نیز در
L′است:
u = α0 + α1a + ... + αkak ∈ L′ - وbeta;
v ≠ 0). - و چون میدان، وارون را نیز در دامن دارد:
u·v-1 ∈ L′
یعنی هر عضوِ L در L′ مسکن دارد؛ لاجرم L ⊆ L′. اکنون از اشتراکِ همهٔ این زیرمیدان‌ها چنین برمی‌آید:
F(a) = ∩ L′ ⊃ L ⇒ L = F(a)
و این همان معجزهٔ مُهرِ تعریف است: اشتراکِ کوچک‌ترین‌ها، خود از همهٔ کسرها پهن‌تر نیست؛ سرانجام به همان قلمروِ کسرها فرود می‌آید.
ششم: یگانگیِ چندجمله‌ای کمینه
بپندارید دو چندجمله‌ایِ کمینه — که هر دو مونیک‌اند — برای عنصر a وجود دارد: Pa = f · g با
1 ≤ deg f, deg g < deg Pa و f, g ∈ F[x].
گام تجزیه: در نقطهٔ a مقدار گیریم:
0 = Pa(a) = f(a) · g(a)
اما K میدان است و میدان، «بی‌نیم‌ساز»؛ یعنی حاصل‌ضربِ دو عنصر صفر نشود، مگر آن‌که یکی از آنها خود صفر باشد. پس ناگزیر:
f(a) = 0 یا g(a) = 0.
اما این با «کمینه بودنِ درجه» ناسازگار است؛ زیرا اگر مثلاً f(a) = 0 بود، به حکم کمینگی می‌بایست
deg f ≥ deg Pa — و این با فرضِ deg f < deg Pa در تضادّ آشکار است. نتیجه:
چنین تجزیه‌ای ناممکن است؛ پس Pa تجدیدناپذیر است و کمینه — اگر مونیک باشد — یکتاست.
هفتم: پلّهٔ فاستونی — F(a) هم‌ریخت با F[x] بر ایده‌آلِ کمینه
ادعای فاستون:
F(a) ≅ F[x] / (Pa)
برای برآمدنِ این پلّه، نخست باید دو چیز را به اثبات رسانیم:
الف) پوشا بودن: نگاشت ارزیابی را در نظر بگیرید:
Ψ : F[x] → F(a) با Ψ(f(x)) = f(a) ، ∀ f ∈ F[x]
به روشنی، این نگاشت پوشاست؛ زیرا هر عضوِ F(a) (یعنی هر کسرِ چندجمله‌ایِ مقدر در a) دربردارندهٔ تصویرِ یک چندجمله‌ای از F[x] است.
ب) هستهٔ نگاشت: هستهٔ این نگاشت، مجموعهٔ همهٔ چندجمله‌ای‌هایی است که در a خاموش می‌شوند:
Ker Ψ = { f(x) ∈ F[x] | Ψ(f(x)) = 0 } = { f(x) ∈ F[x] | f(a) = 0 } = ⟨ Pa ⟩
یعنی هسته، همان ایده‌آلِ اصلیِ زاییدهٔ چندجمله‌ای کمینه است. و اکنون به حکمِ قضیهٔ نخستِ اَشکال (که هر هسته، ایده‌آلی است و هر حلقه بر هسته‌اش اَشکال است):
F[x] / KerΨ ≅ F(a) ⇒ F[x] / (Pa) ≅ F(a)
و چون Pa تجدیدناپذیر است، ایده‌آلِ ⟨Pa⟩ بیشینه است و بنابراین اَشکال، میدانی تمام‌عیار خواهد بود — همان‌گونه که F(a) میدان است. نتیجه با نتیجه، به هم می‌رسند و قفلِ قضیه باز می‌شود.
«کمینه، یگانه است؛ زیرا حقیقت، شریک نمی‌پذیرد. و هر میدانِ زاییده، آینه‌ای است از حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها پس از زدودنِ بندِ کمینه.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.