اثبات خوش‌تعریفی و یکتایی نگاشت القایی (تکمیلی)
گام نهایی در برهان قضیه ۳.۷.۴ در مدول‌های خارج‌قسمتی
برای اتمام اثبات خاصیت جهانی Pushout، باید دو مسئله‌ی بنیادین را احراز کنیم: نخست آن‌که نگاشتِ تعریف‌شده δ : N → X خوش‌تعریف (Well-defined) است و وابستگی به نماینده‌ی هم‌دسته ندارد، و دوم آن‌که این نگاشت یکتا است.
۱. اثبات خوش‌تعریفی δ (صفر شدن روی زیرمدول U)
تعریف نگاشت عبارت بود از:
δ((m , b) + U) = ψ'(m) + β'(b).
برای آن‌که این نگاشت بر روی مدول خارج‌قسمتی N = (M ⊕ B)/U خوش‌تعریف باشد، کافی است نشان دهیم اگر عنصرِ (m , b) ∈ U باشد، تصویر آن تحت نگاشت فوق برابر با صفرِ مدولِ X خواهد بود:
چون (m , b) ∈ U است، طبق تعریفِ زیرمدول U، عنصری مانند a ∈ A وجود دارد به‌طوری که:
(m , b) = (φ(a) , -α(a)) ⇒ m = φ(a) , b = -α(a)
حال اثرِ نگاشت را بر این عنصر بررسی می‌کنیم:
δ((m , b) + U) = ψ'(m) + β'(b)
= ψ'(φ(a)) + β'(-α(a))
= ψ'φ(a) - β'α(a)
= (ψ'φ - β'α)(a)
از آن‌جا که طبق فرض اولیه، دیاگرامِ بیرونی جابجایی است و داریم ψ'φ = β'α (یا به عبارتی ψ'φ - β'α = 0)، نتیجه می‌شود:
δ((m , b) + U) = 0 ⇒ δ(U) = {0}
پس نگاشت δ کاملاً خوش‌تعریف و یک همریختی مدولی است.
۲. برهانِ یکتایی نگاشت δ
فرض کنید نگاشتِ همریختیِ دیگری مانند δ' : N → X وجود داشته باشد که در شروط
δ' ˆ ψ = ψ' و
δ' ˆ β = β' صدق کند.
برای هر عنصر دلخواه n = (m , b) + U در N داریم:
δ'((m , b) + U) = δ'((m , 0) + U + (0 , b) + U)
= δ'(ψ(m) + β(b))
= δ'(ψ(m)) + δ'(β(b))
= (δ'ˆψ)(m) + (δ'ˆβ)(b)
= ψ'(m) + β'(b) = δ((m , b) + U)
بنابراین δ' = δ بوده و نگاشتِ القایی کاملاً منحصربه‌فرد و یکتا است.
پایان اثبات قضیه ۳.۷.۴:
ساختارِ مدولیِ N = (M ⊕ B)/U همراه با همریختی‌های کانونیکال (ψ, β)، تمامی خواصِ جهانیِ ساختارِ Pushout (رَفْت) را احراز کرد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.