برهانِ جامعِ ساختارِ رَفْت (Pushout)
اثبات قضیه ۳.۷.۴: از تعریفِ نگاشت‌ها تا خاصیتِ جهانی
در نوشتارِ پیشین، مدولِ خارج‌قسمتیِ N = (M ⊕ B) / U به عنوان نامزدِ اصلیِ Pushout معرفی گردید. اینک در این مقام، نگاشت‌های کانونیکال را سامان داده و با برهانِ ریاضی اثبات می‌کنیم که زوجِ (ψ, β) دقیقاً خاصیتِ جهانیِ Pushout را برآورده می‌سازد.
۱. تعریفِ نگاشت‌های کانونیکال ψ و β
همریختی‌های ورود به مدولِ خارج‌قسمتیِ N را به‌صورت طبیعی چنین تعریف می‌کنیم:
ψ : M → N , m ↦ (m , 0) + U
β : B → N , b ↦ (0 , b) + U
بررسی جابجایی دیاگرام (ψˆφ = βˆα):
برای هر عنصرِ a ∈ A داریم:
(ψˆφ)(a) = ψ(φ(a)) = (φ(a) , 0) + U
(βˆα)(a) = β(α(a)) = (0 , α(a)) + U
از آن‌جا که عنصرِ (φ(a) , -α(a)) متعلق به زیرمدولِ U است، پس در خارج‌قسمت:
(φ(a) , 0) - (0 , α(a)) = (φ(a) , -α(a)) ∈ U ⇒ (φ(a) , 0) + U = (0 , α(a)) + U
بنابراین شرطِ جابجایی، یعنی ψφ = βα با کمالِ استواری برقرار است.
۲. برهانِ خاصیتِ جهانی و یکتایی
فرض کنید مدولِ دلخواهِ X و همریختی‌های ψ': M → X و β': B → X موجود باشند به‌طوری که ψ'φ = β'α.
می‌خواهیم نگاشتِ δ: N → X را چنان بیابیم که دیاگرام را جابجا کند: آن‌جا که عنصرِ (φ(a) , -α(a)) متعلق به زیرمدولِ U است، پس در خارج‌قسمت:
(φ(a) , 0) - (0 , α(a)) = (φ(a) , -α(a)) ∈ U ⇒ (φ(a) , 0) + U = (0 , α(a)) + U
بنابراین شرطِ جابجایی، یعنی ψφ = βα با کمالِ استواری برقرار است.
۲. برهانِ خاصیتِ جهانی و یکتایی
فرض کنید مدولِ دلخواهِ X و همریختی‌های ψ': M → X و β': B → X موجود باشند به‌طوری که ψ'φ = β'α.
می‌خواهیم نگاشتِ δ: N → X را چنان بیابیم که دیاگرام را جابجا کند:
تعریف نگاشت القایی: هر عنصرِ n ∈ N به صورت یک هم‌دسته مانند n = (m , b) + U است. نگاشتِ δ را چنین تعریف می‌کنیم:
A -------------- φ -------------> M
| |
| | ψ
α v
v N = (M ⊕ B) / U
B -------------- β -------------> /
\ /
\ / δ (یکتا)
\ β' /
v v
----------------------> X
ψ'
چکیدهٔ برهان:
نشان داده شد که ساختارِ خارج‌قسمتیِ N = (M ⊕ B)/U نه تنها وجود دارد، بلکه همراه با نگاشت‌های کانونیکال (ψ, β)، تمام شروطِ «خواصِ جهانی» را به‌خوبی ایفا می‌کند. بنابراین زوجِ (ψ, β) یک **رَفْت (Pushout)** برای (φ, α) است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.