ریاضیات

قضیهٔ نخست (بخش‌پذیری گروه خارج‌قسمتی):

اگر A یک گروهِ بخش‌پذیر باشد و C زیرگروهی دلخواه از آن (C ≤ A)، آن‌گاه گروه خارج‌قسمتی A/C نیز همواره بخش‌پذیر است:

روش اول (تحلیل بر پایه‌ی عناصر و هم‌دسته‌ها):

می‌دانیم عناصرِ گروه خارج‌قسمتی، هم‌دسته‌هایی به صورت A/C = { a + C | a ∈ A } هستند. برای هر عدد صحیح ناصفر z و هر عنصر دلخواه x ∈ A/C با فرض x = a + C داریم:

x = (a + C)z = az + Cz = az + C

از آن‌جا که A بخش‌پذیر است، به ازای هر a ∈ A و هر z ≠ 0، عنصری چون a′ ∈ A یافت می‌شود که a = a′z. پس:

و این یعنی (A/C)z = A/C؛ پس خارج‌قسمت بخش‌پذیر است.

روش دوم (استفادهٔ مستقیم از لمِ پیشین - بروریختی کانونیکال):

نگاشتِ طبیعیِ خارج‌قسمتی (تصویر متعارف):

یک بروریختیِ کامل است. از آن‌جا که در لمِ پیشین اثبات شد که «تصویرِ بروریختی از هر گروه بخش‌پذیر، باز هم بخش‌پذیر است»، بلافاصله نتیجه می‌شود که A/C به ضرورت بخش‌پذیر خواهد بود.

قضیهٔ دوم (حاصل‌ضرب و مجموع مستقیمِ گروه‌های بخش‌پذیر):

حاصل‌ضرب مستقیم و مجموع مستقیم از هر خانواده از گروه‌های بخش‌پذیر، خود گروهی بخش‌پذیر است.

اگر { A_i }_{i ∈ I} خانواده‌ای از گروه‌های بخش‌پذیر باشد، به ازای هر عدد صحیح ناصفر 0 ≠ z ∈ ℤ داریم:

چرا که به ازای هر اندیس i ∈ I، چون A_i بخش‌پذیر است، تساوی A_iz = A_i برقرار است؛ و این قاعده عیناً در مجموعِ مستقیم (⊕_{i ∈ I} A_i) نیز جاری است، زیرا ضرب در عدد صحیح به‌صورت مؤلفه‌به‌مؤلفه اِعمال می‌شود و تکیه‌گاه‌های متناهی را دگرگون نمی‌سازد.

حکمتِ بخشندگی در آینه‌ی ریاضیات:

حقیقتِ بخش‌پذیری همانند چشمه‌ای است که هرچه ظرف‌های پیمانه (هم‌دسته‌های C) از آن برگیرند، گوارایی و جوششِ خود را وا نمی‌گذارد (A/C بخش‌پذیر است)؛ و چون شاخسارهای گوناگونِ این چشمه‌ها را در کنار هم نشانیم (∏ یا ⊕)، نه تنها زوال نمی‌پذیرد، بلکه پهنه‌ای فراگیر از فیض را می‌گسترد. هر مؤلفه حقیقتِ کل را در خود دارد و کل، در پرتوِ کمالِ اجزا، دست‌نخورده و بی‌نقصان باقی می‌ماند.