دنبالهٔ دقیقِ شکسته و پژواک‌پذیریِ مدول‌های آزاد (Free ⇒ Projective)
در این برگه، حقیقتی مبارک آشکار می‌شود: بروریختیِ هر هم‌ریختی به سوی مدولِ آزاد، همواره «شکسته» است و مدولِ آزاد حقِ پژواک‌پذیری (Projectivity) را از آنِ خویش می‌داند.
دنبالهٔ دقیقِ کوتاه:
دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید که در آن دقیق باشد:
0 → A ϕ→ M f→ M/A → 0
یعنی شرطِ بنیادینِ برقرار است:
ker f = Im ϕ
حالتِ شکستهٔ دنباله (Split Exact Sequence):
اگر دنباله شکسته شود، آنگاه M به دو پارهٔ بی‌میانهٔ مستقل تجزیه می‌گردد:
M = Im ϕ ⊕ M1 = ker f ⊕ M1
قضیهٔ بنیادین: هر مدولِ آزاد، پژواک‌پذیر است
صورت قضیه: suppose فرض کنیم f: FR → AR یک بروریختی از مدولِ آزاد FR باشد و Y مجموعهٔ پایهٔ F باشد؛ یعنی:
FR = Σb∈Y bR , Y مجموعهٔ پایاء مستقل خطی است
حکم آن است که برای هر بروریختِ ϕ: AR → FR، بخشِ راستیِ وارون g′ وجود دارد که ϕg′ = 1F.
سرآغازِ برهان (ساختِ نگاشتِ g′):
چون ϕ پوشاست، به ازای هر عضوِ پایهٔ b ∈ Y، عنصری در A موجود است که تصویرِ آن همان b باشد؛ آن را ϕ(qb) = b می‌نامیم (qb ∈ A). اینک نگاشتِ هم‌ریختِ g′ را چنین تعریف می‌کنیم:
g′ : FR → AR
∀ b ∈ Y : Σ b rb ↦ Σ qb rb ∈ A
یعنی هر عنصرِ F را با جای‌گذاریِ هر پایهٔ b به جای پیش‌تصویرِ qb آن می‌بریم.
محاسبهٔ کلیدی (اثباتِ ϕg′ = 1F):
ϕg′( Σ b rb ) = ϕ( Σ qb rb )
= Σ ϕ(qb) rb (هم‌ریختیِ ϕ)
= Σ b rb (چون ϕ(qb) = b)
= 1F( Σ b rb )
بنابراین:
ϕg′ = 1F (بخشِ راستِ یکتای هویت)
نتیجهٔ نهایی (تجزیهٔ A):
با وجودِ بخشِ g′، بروریختیِ ϕ می‌شکند و مدولِ A تجزیه می‌شود:
A = Im ϕ ⊕ ker ϕ , FR g′→ AR ϕ→ FR با ϕg′ = 1F
به بیان دیگر: AR = Im ϕ ⊕ ker ϕ و این همان معنای پژواک‌پذیریِ مدولِ آزاد است.
حکمتِ برهان:
آزادیِ F بدین معناست که در تعریفِ هم‌ریختی‌ها هیچ قیدی نیست: چون پایه Y را با آزادی کامل می‌سازیم، هر انتخابِ دلخواهِ تصویرِ پایه‌ها، یک هم‌ریختِ یکتا برمی‌سازد. و همین آزادیِ سازنده، گشایشِ دنباله‌ها و شکستنِ بروریختی‌ها را ارمغان می‌آورد؛ گویی مدولِ آزاد، آن غریقِ نجات‌یافته‌ای است که همیشه طنابِ نجات (g′) در دسترسِ اوست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.