ریاضیات

گام نخست (برپاییِ مدول مدولِ آزاد):

مطابق حکمِ.۴، به ازای مجموعهٔ Y، یک R-مدولِ آزادِ استاندارد با پایهٔ کانونیکال وجود دارد که آن را به تصویر می‌کشیم:

که هر مؤلفهٔ φ_b(1)R یک نسخهٔ یک‌ریخت از خودِ R_R است. عناصر این مدول، ترکیب‌های خطیِ متناهی با تکیه‌گاهِ متناهی‌اند:

گام دوم (تعریف نگاشتِ f):

نگاشتِ هم‌ریختِ f را چنین تعریف می‌کنیم:

f : R(Y) → M
∀ rb ∈ R :   Σ φb(1)rb  ↦  Σ b·rb     (Σ b rb ∈ M)

یعنی هر ترکیب خطیِ رسمی از عناصرِ پایه، به ترکیب خطیِ واقعیِ همان عناصرِ مولّد در درونِ M فرستاده می‌شود.

گام سوم (پوشا بودن / بروریختی):

چون Y مولّدِ M است:

پس هر عنصرِ m ∈ M به صورت m = Σ b r_b (که b ∈ Y و r_b ∈ R) نوشته می‌شود؛ و از آن‌جا که چنین عنصری، تصویرِ دقیقِ عنصرِ Σ φ_b(1)r_b از R^(Y) است، نگاشت f پوشاست:

در نتیجه M تصویری بروریخت از مدولِ آزادِ R^(Y) است و قضیه حاصل شد.

M = ⊕_i A_i     ,     ϕ_i : A_i → F_R

حکمتِ برهان و از آنچه گذشت:

نگاشتِ f، پلی است میان دو عالم: در یک سو، عالمِ آزادِ R^(Y) که در آن هیچ عنصری به بندِ رابطه‌ای کشیده نشده و همه ترکیب‌ها «رسمی» و بی‌قیدند؛ و در سوی دیگر، عالمِ مقیدِ M که در آن روابطِ خطی، حکم می‌رانند. این پوششِ بروریخت، همانند صعودِ عارف است از هبوطِ دنیای روابط به سرمنزلِ آزادی؛ و هستهٔ هم‌ریختیِ Ker(f)، همان قیودی است که میان این دو عالم فاصله می‌افکند.