ریاضیات

بازگشت به سرچشمهٔ آزادی: از کثرتِ مجموعِ مستقیم تا وحدتِ پایه

چنان‌که در گامِ نخست، از وجودِ «پایه» به «مجموع مستقیمِ نسخه‌های حلقه» راه سپردیم، اینک زمانِ آن است که راهِ رفته را بازگردیم و نشان دهیم که هرگاه مدولی از پیوندِ مستقیمِ کپی‌های حلقه قوام یابد، جوهرهٔ آزادی در آن می‌دمد و پایه‌ای استوار از بطنِ آن جوانه می‌زند.

گام اول: برانگیختنِ عناصرِ پایه از دلِ هم‌ریختی‌ها

چون برای هر شاخصِ i، نگاشتِ φ_i : R_R → A_i یک یک‌ریختی (ایزومورفیسم) است، تصویرِ عنصرِ یکمِ حلقه (1 ∈ R) را در نظر می‌گیریم:

ادعا می‌کنیم که گردایهٔ این تصاویر، یعنی مجموعهٔ زیر، دقیقاً پایه‌ای برای مدولِ F است:

گام دوم: اثباتِ مولِّد بودن (اسپن کردنِ فضا)

چون φ_i نگاشتی R-خطی و پوشاست، تصویرِ کلِ حلقه به دست می‌آید:

از آن‌جا که مدولِ کل، مجموعِ مستقیم این مؤلفه‌هاست، هر عنصر به وضوح ترکیبی از عناصرِ این مجموعه است:

⇒ مجموعهٔ X = { φ_i(1) } یک دستگاهِ مولِّد برای F است.

گام سوم: اثباتِ استقلالِ خطی (Linear Independence)

فرض کنیم ترکیبی خطی از این عناصر برابر با صفر گردد (با تکیه‌گاهِ متناهی):

به حکمِ خاصیتِ مدولی و خطی بودنِ نگاشت‌های φ_i:

∑i ∈ I φi(1 · ri) = 0
⇒ ∑i ∈ I φi(ri) = 0

اما توجه فرمایید! هر عنصرِ φ_i(r_i) در مؤلفهٔ مجزای A_i زیست می‌کند و مجموعِ ما «مجموع مستقیم» است:

بنابراین، تنها راهِ آن‌که حاصل‌جمعِ عناصری از زیرمدول‌های مستقل برابر صفر شود، آن است که تک‌تکِ مؤلفه‌ها صفر باشند:

از سوی دیگر، چون φ_i یک‌ریختی است، هستهٔ آن تهی از عناصر غیرصفر است (ker φ_i = {0})، پس تک‌ریختی نتیجه می‌دهد:

⇒ عناصرِ گردایهٔ { φ_i(1) } نسبت به هم مستقلِ خطی‌اند.

فرجام و کمالِ قضیه:

چون مجموعهٔ { φ_i(1) } هم مولد است و هم مستقلِ خطی، بنابراین بی‌هیچ شائبه‌ای یک پایه برای F به شمار می‌رود: