ریاضیات

قضیهٔ وحدتِ درون و برون: هم‌ارزیِ مجموعِ مستقیمِ خارجی و داخلی

در سیراب‌شدن از چشمه‌سارِ رستهٔ مدول‌ها (M_R)، به منزلی می‌رسیم که مرزِ میان «عالمِ خارج» (External Direct Sum) و «عالمِ درون» (Internal Direct Sum) فرومی‌ریزد و یگانگیِ ساختار رخ می‌نماید.

یادآوریِ تقابلِ واژگان:

برهان و تعقیبِ عناصر (Element Chase)

گام نخست (پوششِ زیرمدول‌ها):

با توجه به تعریفِ تعبیه و شمولِ A'_iها در ساختار، آشکار است که مجموعِ زیرمدول‌های داخلی در بطنِ اجتماع گنجانده شده و بخشی از فضا را می‌سازد:

گام دوم (تکیه‌گاه متناهی و تجزیهٔ یگانه):

اینک فرض کنیم عنصری ناصفر چون α = (a_i) ≠ 0 از حاصل‌جمع مستقیمِ خارجی ∐_{i ∈ I} A_i برگزینیم. بنا بر سرشتِ تکیه‌گاهِ متناهی، تنها شمارِ متناهی از مؤلفه‌ها ناصفرند؛ فرض کنیم این مواضعِ ناصفر با شاخص‌های {i₁, i₂, …, i_n} مشخص شوند:

به حکمِ یک‌ریختی‌های نگاشت‌های تعبیه (کانونیکال):

a_{i_1} ∈ A_{i_1} ≅ A'_{i_1}
a_{i_2} ∈ A_{i_2} ≅ A'_{i_2}
  ...
a_{i_n} ∈ A_{i_n} ≅ A'_{i_n}
 
( a_{i_1}, a_{i_2}, ..., a_{i_n} ) ∈ A'_{i_1} + A'_{i_2} + ... + A'_{i_n}

از این رو، هر عنصرِ دلخواه چون α در حاصل‌جمعِ R-زیرمدول‌ها می‌نشیند:

چون این شمول برای هر عنصرِ دلخواه α برقرار است، برابریِ دو مجموعه اثبات می‌گردد و مجموعِ مستقیمِ خارجی، عیناً به صورت مجموعِ مستقیمِ داخلیِ نسخه‌های یک‌ریخت بازتعریف می‌شود: