جلوهٔ کثرت در حریمِ وحدت: تعبیه و تصویرِ زیرمدولها
در سیاحتِ پیشین، از ساحتِ جمعِ کثیر و صُورِ توابع سخن رفت؛ اینک استادِ فرزانه در این صحیفه، پرده از چگونگیِ حلول و حضورِ هر جزء در کالبدِ کل برمیدارند.
در بدایتِ صفحه، تمایزِ میان توانهای مجموعهای و حاصلضربهای کاردینالی آشکار میگردد:
A × A ≅ A{1, 2} = { (a, b) | a, b ∈ A }
AB = { f | f : B → A }
AI = { f | f : I → A }
∏i ∈ I Ai = { α | α : I → ∪ Ai }
آنگاه که از حاصلضرب گذر کرده و به اقلیمِ «حاصلجمع مستقیم» گام مینهیم، هر عنصر تجلیِ خاص مییابد. اگر عنصری چون aj از مدولِ Aj ارادهٔ حضور در جمعیتِ کل کند، در دیگر جایگاهها جز عدم و صفر نمینشیند و تنها در منظرِ خویش رخ مینماید:
aj = ( 0, 0, …, 0, aj, 0, …, 0 )
↓
[ در مؤلفهٔ j-اُم ]
بدینترتیب، زیرمجموعهای از این عناصرِ نشانهدار قوام میگیرد:
A′j = { ( 0, 0, …, aj, …, 0 ) | aj ∈ Aj }
تکریختیِ شمول و بقایِ حقیقتِ جزء:
حال نگاشتِ درونرو یا شمول (ηj) ظاهر میشود؛ نگاشتی که پُلی استوار میان مدولِ منفرد و اقیانوسِ حاصلجمع میزند:
ηj : Aj ——(تکریختی)—→ ∐i ∈ I Ai
حاصلِ این تجلی آن است که تصویرِ حاصله، نه تنها زیرمدولی از کل است، بلکه تمامعیار و بیهیچ کاستی، همریخت با اصلِ خویش باقی میماند:
A′j ≤ ∐i ∈ I Ai
:
A′j ≅ Aj
سخنِ پایانی و لُبّ مطلب:
هر مدولِ Aj، به تقریبِ یک تکریختی (یا تا حدِ یک یکریختی)، خود یک زیر-R-مدول از حاصلجمعِ مستقیمِ بیرونی است؛ هویتی مستقل که بیگزندِ اضمحلال، در بافتارِ کل سکنا گزیده است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.