ریاضیات

۹. بازگشتِ نگاشت‌ها به حاصل‌ضرب: ویژگی جهانیِ Product

آن‌جا که از هم‌ضرب گفتیم، پیکان‌ها از ضرب به بیرون می‌رفتند (تصاویرِ $\pi_j$)؛ اکنون در حاصل‌ضرب مستقیم، همهٔ پیکان‌ها به درونِ آن بازمی‌گردند. فرض کنیم برای هر اندیسِ $i$، نگاشتی داریم: $\gamma_i : C \to A_i$. آیا نگاشتی یکتا هست که همهٔ این دیدن‌های جزئی را یک‌جا گرد آورد؟

۱۰. مثلثِ جابجاییِ وجود و یکتایی

اثباتِ وجود: نگاشتِ $\gamma$ را با مختصات‌گذاری تعریف می‌کنیم: هر عنصر $c$ را به دنبالهٔ کاملِ تصاویرش $(\gamma_i(c))_{i\in I}$ می‌فرستیم. آن‌گاه به‌روشنی، برشِ $i$اُم این دنباله همان $\gamma_i(c)$ است؛ پس مثلث جابجا می‌شود.

اثباتِ یکتایی: اگر $\gamma'$ نیز چنین خاصیتی داشته باشد، برای هر $i$ و هر $c$ داریم $\pi_i(\gamma'(c)) = \gamma_i(c) = \pi_i(\gamma(c))$. و چون تصویرها «تفکیک‌گر»ند — دو عنصرِ ضرب با همهٔ مختصاتِ برابر، یکی‌اند — پس $\gamma' = \gamma$. یگانگی، از وحدتِ مختصات می‌جوشد.

تفسیر: در هم‌ضرب، حقیقت از کثرت به وحدت می‌رفت ($\beta$ جمعِ اثرات بود)؛ در ضرب، حقیقتِ یکتا خود را به همهٔ آینه‌ها می‌نمایاند و هر $\pi_i$ برشی از آن نشان است. دو قوسِ صعود و نزول، این‌چنین مکملِ یکدیگرند: «آنچه در کثرت پراکنده دیدی، در ضرب گرد آید؛ و آنچه گرد آمد، از کثرتِ پیراسته بُوَد.»