ریاضیات

۱. یادآوری: تعریف شیء ضرب (Product) در رسته مدول‌ها

عنصر P در رستهٔ M_R، همراه با خانوادهٔ نگاشت‌های تصویر α_i : P → A_i را یک ضرب برای خانوادهٔ {A_i} نامند، هرگاه به ازای هر مدولِ دلخواه C ∈ M_R و هر خانواده از هم‌ریختی‌های β_i : C → A_i، هم‌ریختی منحصر‌به‌فردی مانند γ : C → P وجود داشته باشد به‌گونه‌ای که:

نتیجه: حاصل‌ضرب دکارتی مستقیم ∏_i∈I A_i با توجه به هم‌ریختی‌های تصویرِ استاندارد p_i، یک ضربِ یکتا در رستهٔ مدول‌هاست.

۲. هم‌ضرب (حاصل‌جمع مستقیم / Coproduct)

مفهوم هم‌ضرب همزادِ دوسویه (Dual) ضرب مستقیم است. زوج مرتبِ (∐_i∈I A_i , { η_i }_i∈I) را یک هم‌ضرب در رستهٔ M_R گویند، هرگاه:

به ازای هر مدولِ B ∈ M_R و به ازای هر خانواده از هم‌ریختی‌های β_i : A_i → B، یک هم‌ریختی منحصر‌به‌فرد مانند β : ∐ A_i → B وجود داشته باشد به‌طوری‌که رابطهٔ جابجایی زیر برای تمام اندیس‌ها برقرار باشد:

نمودار جابجایی ویژگی جهانی هم‌ضرب

۳. یادآوری ساختار هم‌ضرب مجرد (شیء Q)

در حالت کلی، هرگاه شیء Q در رستهٔ M_R به‌همراه نگاشت‌های شمولِ α_i : A_i → Q داده شده باشد، Q را یک هم‌ضربِ مجرد گویند هرگاه بتواند نگاشت یکتای ∃! β : Q → B را القا نماید به‌گونه‌ای که: