«اگر نگاشتِ تصویر، گذر از کثرت به خلوتِ یک جزء است؛ نگاشتِ شمول، تجلیِ آن جزء در قامتِ کل است. قطره‌ای است که در بحر می‌نشیند بی‌آنکه گوهرِ خویش فروگذارد.»
درس هشتم: نگاشتِ شمول (Inclusion / Injection Map)
در برابرِ نگاشتِ تصویر (πj) که کارِ آن «تفکیک و فروکاستن» بود، نگاشتی دیگر جای دارد که کارِ آن «نشاندن و جای‌دادنِ جزء در کل» است. این نگاشت را با نماد ηj (یا ιj) نشان می‌دهیم.
۱. تعریفِ ریاضی نگاشت شمول
فرض کنید می‌خواهیم مدولِ منفردِ Aj را به درونِ ساختارِ بزرگ‌تر (جمع یا ضربِ مستقیم) پیوند زنیم. نگاشتِ شمول هر عضوِ دلخواه مثل a از مدولِ Aj را به برداری در فضایِ کل می‌نگارد که تنها در مؤلفهٔ j-ام آن مقدارِ a نشسته و سایرِ خانه‌ها با صفر آراسته شده‌اند:
ηj : Aj → ∐i ∈ I Ai
a ↦ (..., 0, a, 0, ...)
۲. ویژگیِ بنیادین: درون‌ریختی (تک‌ریختی / Monomorphism)
برخلافِ نگاشتِ تصویر که بروریخت (پوشا) بود، نگاشتِ شمول همواره یک‌به‌یک (تک‌ریختی یا یک‌ریختی به درون) است؛ زیرا هستهٔ (Kernel) این نگاشت تنها شاملِ عضوِ صفر است:
Ker(ηj) = { 0 } ⇒ ηj is Monomorphism (One-to-One)
۳. پیوندِ شمول و تصویر (قاعدهٔ دلتای کرونکر)
زیباترین جلوهٔ این دو نگاشت هنگامی آشکار می‌شود که با یکدیگر ترکیب شوند:
اگر ابتدا بنشانیم و سپس همان مؤلفه را بخوانیم (k = j): به نگاشتِ همانی (Identity) می‌رسیم:
πj ο ηj = 1Aj
اگر عنصری را در خانهٔ j بنشانیم اما مؤلفهٔ k-ام را بخوانیم (k ≠ j): حاصل صفرِ مطلق خواهد بود:
πk ο ηj = 0
πk ο ηj = δkj · 1Aj
۴. تصویرِ ماتریسی و عملگرِ خودتوان (Idempotent)
چنانچه ترکیب را برعکس انجام دهیم، یعنی ابتدا با تصویر جزء را برگیریم و سپس در کل بنشانیم، عملگرِ تصویریِ ej = ηj ο πj پدید می‌آید که خاصیتِ شگفتِ خودتوانی (ej2 = ej) دارد؛ عملگری که تکرارِ عملش چیزی بر حاصل نمی‌افزاید و حقیقتِ تجزیهٔ مدول را رقم می‌زند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.