نگاشتِ تصویر (Projection Map) چیست؟
در نظریه‌یِ مدول‌ها، وقتی با مجموعه‌ای بزرگ (حاصل‌ضربِ مستقیم) سر و کار داریم، نیاز داریم که بتوانیم «جزئیات» را از «کل» جدا کنیم. ابزارِ این کار، نگاشتِ تصویر (Projection Map) است که آن را با نمادِ πj نشان می‌دهیم.
تعریفِ رسمی
فرض کنید مجموعه‌ای از مدول‌ها داریم که در یک حاصل‌ضربِ مستقیم (∏ Ai) جمع شده‌اند. نگاشتِ تصویرِ j-ام، نگاشتی است که یک «چندتایی» (عنصرِ بزرگ) را می‌گیرد و فقط مؤلفه‌یِ مربوط به j-ام را استخراج می‌کند:
πj : ∏i ∈ I Ai → Aj
(ai) ↦ aj
چرا این نگاشت «پوشا» است؟
طبقِ یادداشت‌هایِ ما، این نگاشت همیشه پوشا (Epimorphism) است. استدلالِ آن ساده است: اگر بخواهیم به عنصری دلخواه (مانند a) در مدولِ Aj برسیم، کافی است در فضایِ بزرگ، یک چندتایی بسازیم که در جایگاهِ j مقدارِ a باشد و در سایرِ جایگاه‌ها صفر (عنصرِ خنثی) باشد.
خلاصه برایِ یادسپاری:
نگاشتِ تصویر، در واقع یک «انتخاب‌گر» است. همان‌طور که یک فیلترِ رنگی، فقط نورِ آبی را از نورِ سفید عبور می‌دهد، πj هم فقط مؤلفه‌یِ j-ام را از کلِ ساختارِ مدولِ بزرگ استخراج می‌کند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.