درس ششم: لم ۴.۱.۵ (بروریختیِ نگاشت‌های تصویر)
در این درس می‌خواهیم ویژگیِ پوشا بودن (بروریختی یا Epimorphism) نگاشت‌های تصویر πj و رفتارِ آنها در ترکیب با حاصل‌جمع‌های مستقیم را بررسی کنیم.
۱. تعریف و اثباتِ بروریختی نگاشت تصویر (πj)
نگاشتِ تصویر را از حاصل‌ضربِ مستقیم به مدولِ j-ام تعریف می‌کنیم:
πj : ∏i ∈ I Ai → Aj
(ai) ↦ aj
استدلالِ پوشا بودن: به ازای هر عضو دلخواه مانند a در Aj، آیا عضوی در حاصل‌ضرب پیدا می‌شود که تصویرش دقیقاً a باشد؟
بله؛ کافی است یک چندتایی بسازیم که در مؤلفهٔ j-ام آن مقدارِ a قرار گرفته و بقیهٔ مؤلفه‌ها صفر باشند:
α = (0, 0, ..., 0, a, 0, ...) ∈ ∏ Ai
⇒ πj(α) = a
بنابراین نگاشتِ πj همواره یک بروریختی (هم‌ریختی پوشا) است.
۲. ترکیبِ نگاشت‌ها با جمع مستقیم (πj ο σ)
اکنون فرض کنید یک جمع مستقیم با مجموعه اندیس‌هایِ I' داشته باشیم که به ضرب مستقیم نگاشته می‌شود (σ) و سپس تصویر πj روی آن عمل می‌کند:
∐i ∈ I' Ai —σ→ ∏i ∈ I Ai —πj→ Aj
۳. شرطِ کلیدی برای بروریختی بودنِ ترکیب
نتیجه و شرطِ لازم:
شرطِ آنکه نگاشت ترکیبِ πj ο σ یک بروریختی باشد، آن است که اندیسِ j حتماً متعلق به مجموعه اندیس‌های I' باشد (j ∈ I').
در غیر این صورت، اگر j در I' نباشد و مدولِ Aj یک R-مدولِ ناصفر باشد، نگاشت حاصل صفر (پوچ) خواهد شد و دیگر پوشا نیست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.