درس دوم: لِمِ شور (Schur's Lemma) و مدولهایِ ساده
در مباحثِ قبل با مفهومِ مدولها آشنا شدیم. امروز میخواهیم بدانیم وقتی با «مدولهایِ ساده» (Simple Modules) سر و کار داریم، چه اتفاقی برای نگاشتها میافتد. لِمِ شور یکی از ابزارهایِ کلیدی در جبرِ خطی و نظریه مدولهاست.
۱. مدولِ ساده چیست؟
یک مدولِ M را «ساده» مینامیم اگر فقط دو زیرمدول داشته باشد: خودش و صفر. به عبارت دیگر، این مدول دیگر قابلِ خرد شدن یا تجزیه به اجزایِ کوچکتر نیست.
۲. بیانِ سادهیِ لِمِ شور
فرض کنید M و N دو مدولِ ساده باشند و f یک نگاشت (همریختی) از M به N باشد. لِمِ شور میگوید:
- یا نگاشتِ f برابر با صفر است (f = 0).
- یا نگاشتِ f یک «یکریختی» (Isomorphism) است.
در این جهانِ ساده، حدِ وسطی وجود ندارد؛ یا هیچ ارتباطی نیست، یا ارتباطی کامل و دوطرفه وجود دارد.
۳. نتیجهگیریِ مهم
از این لم نتیجه میگیریم که اگر مدولِ M ساده باشد، «حلقهیِ اندومورفیسمِ» آن (یعنی تمامِ نگاشتهایِ M به خودش) دارایِ ویژگیِ خاصی است:
End_R(M) is a Division Ring.
به زبانِ ساده: یعنی هر نگاشتِ غیرصفری که از یک مدولِ ساده به خودش میکشیم، حتماً وارونپذیر (معکوسپذیر) است.
این مبحث، پایه و اساسِ درکِ بسیاری از ساختارهایِ پیچیدهتر در جبر است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.