ریاضیات

بررسیِ اندومورفیسم‌هایِ یک مدول (End(R))

در این درس به سراغِ تعریفِ اندومورفیسم و ارتباطِ آن با خودِ حلقه می‌رویم. فرض کنید R یک حلقه باشد و ما مدولِ R_R را بررسی می‌کنیم.

تعریفِ نگاشت‌هایِ ضرب

ما دو نوع نگاشتِ اصلی تعریف کردیم:

• ضربِ چپ: تعریف می‌شود به صورت r(l)(x) = rx
• ضربِ راست: تعریف می‌شود به صورت r(r)(x) = xr

نتیجه‌یِ کلیدی

نکته‌یِ مهم در این مبحث این است که نگاشت‌هایِ اندومورفیسم بر رویِ R، در واقع با خودِ R ایزومورف هستند:

End_R(R_R) ≅ R

توضیح: این یعنی هر عملگرِ خطی رویِ حلقه، در واقع همان ضربِ در یک عنصرِ خاص از خودِ حلقه است. در حلقه‌هایِ جابجایی، این دو نگاشت (چپ و راست) یکی هستند.