بخشِ چهل و هفتم: فراتر از خطی‌سازی؛ ورود به قلمرویِ تانسورها
استاد در تصاویرِ اخیر (مانند ...1772 و ...931)، نشان می‌دهند که وقتی دو نگاشتِ مختلف را با هم ترکیب می‌کنیم، یا وقتی می‌خواهیم «مشتقِ یک بردار» را در طولِ یک مسیر بسنجیم، با ابزاری فراتر از ماتریسِ ژاکوبیِ ساده روبرو هستیم. ما با تانسورهایِ مرتبه‌یِ بالا روبرو هستیم.
۱. مفهومِ «اتصال» (Connection) و جابجاییِ موازی:
یکی از عمیق‌ترینِ مفاهیمِ این برگه‌ها، درکِ این مسئله است که: «چگونه می‌توانیم یک بردار را در طولِ یک مسیر جابجا کنیم، به‌گونه‌ای که "راست‌ترین" (Parallel) به نظر برسد؟» در فضاهایِ خمیده، این کار ساده نیست. استاد با استفاده از نمادهایِ ∇ (nabla)، نشان می‌دهند که برایِ داشتنِ یک «مشتقِ هم‌وردا»، باید نوعی «اتصال» میانِ فضاهایِ مماسِ نقاطِ مجاور تعریف کنیم.
بخشِ چهل و هشتم: انحنا؛ شکستِ نظمِ پارالل
در نهایت، استاد به هسته‌یِ اصلیِ هندسه‌یِ دیفرانسیل می‌رسند: تانسورِ انحنا (Curvature Tensor). اگر ما دو بردار را به صورتِ موازی در یک مسیرِ بسته حرکت دهیم و در پایان به نقطه‌یِ اول بازگردیم، آیا بردارِ ما همان بردارِ اول است؟
اگر بله: فضا «تخت» (Flat) است و هندسه به جبرِ معمولی بازمی‌گردد.
اگر خیر: این «اختلاف»، همان R(X,Y)Z است. انحنا، یعنی همان شکافی که میانِ «انتظارِ ما از نظم» و «واقعیتِ فضا» ایجاد می‌شود.
تحلیلِ عمیق | هندسه دیفرانسیل: از مشتقاتِ ساده تا معماریِ انحنا
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.