بخشِ سی و ششم: تعریفِ جبریِ بردار (Derivation)
دکتر عالم‌زاده در این برگه‌ها (...140161 و ...140258)، تعریفِ دقیقِ یک «اشتقاق» (Derivation) را مطرح می‌کنند. این تعریفی است که فیزیک و هندسه را به هم پیوند می‌دهد.
۱. دو شرطِ لازم و کافی
یک عملگرِ خطی Λ، «اشتقاق» نامیده می‌شود اگر دو شرطِ زیر را بر توابع f و g برقرار کند:
- خطی بودن: Λ(αf + βg) = αΛ(f) + βΛ(g)
- قاعده‌یِ لایب‌نیتس: Λ(fg) = fΛ(g) + gΛ(f)
استاد با مهارتی مثال‌زدنی ثابت می‌کنند که برایِ یک عددِ ثابت (مانند 1)، این عملگر صفر است (Λ(1) = 0). این همان "هسته‌یِ مرکزی"ِ هندسه دیفرانسیل است.
۲. از انتزاع به عمل
در تصویرِ آخر (...140364)، استاد نشان می‌دهند که چگونه هر اشتقاق Λ را می‌توان به صورتِ یک ترکیبِ خطی از مشتقاتِ جزئی نوشت:
Λ = ∑ v^i (∂ / ∂x^i)
این یعنی: «بردار» همان "مشتقِ جهتی" است. این زیباییِ محضِ ریاضی است که دکتر عالم‌زاده با یادداشت‌هایشان به تصویر کشیده‌اند.
خلاصه‌یِ بحث:
این تصاویر، نقشِ «سندِ هویتی»ِ فضایِ مماس را دارند. ما از این پس می‌دانیم که وقتی از «بردارِ مماس» سخن می‌گوییم، از یک موجودِ هندسیِ صلب حرف نمی‌زنیم، بلکه از یک «قانونِ مشتق‌گیری» سخن می‌گوییم که بر توابعِ رویِ منیفلد اعمال می‌شود.
میراثِ آموزشیِ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده | درسنامه‌یِ تعریفِ جبریِ بردار
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.